若
f 在 [a, b] 上無界，則對於 [a, b] 的任一分割 t，比存在屬於 t 的某個小區間 δk
，f在 δk
上無界，在 i≠
k 的各個小區間 δk
上（區間內）任意取定 ξi
，並記：g=
∣∣∣∣
∑i≠k
f(ξi
)δxi
∣∣∣∣
現對任意大（不是無窮大，但要足夠大）的正數
m ，由於 f在
δk上無界（正無窮，負無窮），故存在 ξk
∈δk ，使得：|f
(ξk)
|>m+
gδk
右邊那一塊是構造出來的，
於是有：∣∣
∣∑in
f(ξi
)δxi
∣∣∣≥
|f(ξ
k)δk
|−∣∣
∣∣∑i
≠knf
(ξi)
δxi∣
∣∣∣=
m+g−
g=m
這與 f
在 [a, b] 上可積相矛盾，從而定理得證；
可積函式一定有界，有界函式不一定可積（比如狄利克雷函式，全取有理數，全取無理數，趨於不同的值，1和0）；
有界是可積的必要條件。
充分條件 必要條件 充分必要條件
關於充分條件 必要條件 充分必要條件這三個概念一直沒弄明白，今天總算開竅了 哈哈。充分條件 如果a能推出b，那麼a就是b的充分條件。其中a為b的子集，即屬於a的一定屬於b，而屬於b的不一定屬於a 必要條件 如果沒有事物情況a，則必然沒有事物情況b，也就是說如果有事物情況b則一定有事物情況a，那麼a就...
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