LCA的離線演算法

lca（least common ancestor），

顧名思義，是指在一棵樹中，距離兩個點最近的兩者的公共節點。也就是說，在兩個點通往根的道路上，肯定會有公共的節點，我們就是要求找到公共的節點中深度盡量深的點。還可以表示成另一種說法，就是如果把樹看成是乙個圖，這找到這兩個點中的最短距離。

tarjan作為離線off-line演算法，在程式開始前

，需要將所有等待詢問的節點對提前儲存（非常重要，也是為什麼稱之為「離線」的原因），然後程式從樹根開始執行lca()。

如圖：

下面我將詳細解釋lca一般用法：

（1）建立樹的表示

程式設計中，用vectornode[n]來儲存樹的結構

for(i=0;i

上圖執行完這段程式後，結果如圖所示：

紅色的數字是node[s].size不為0的大小.（整棵樹的表示有了哦），是計算出來的哈，寫上去是為了便於大家理解。

（2）儲存查詢，用vectorque[n]來儲存所要的查詢對。

querynum=某個數；

while（querynum!=0）

如：分別輸入（1，2），（2，4），（2，3），（2，7），（7，8），（5，6）等等等等，也就是你可以輸入任意一對樹上的節點，你需要查詢它們的最近公共祖先。

執行後，que如圖下圖所示：

注意：紅色的數字是為了便於大家理解，計算出來的que[n].size。大家是否注意到圖中（1，2），（2，4），（2，3），（2，7），（7，8），（5，6）又分別存成了（2，1），（4，2），（3，2），（7，2），（8，7），（6，5）。這是因為根據lca離線演算法，上面提到的詢問(x,y)中，y是已處理過的結點。那麼，如果y尚未處理怎麼辦？所以，只要在查詢列表中加入兩個詢問(x, y)、(y,x)，那麼就可以保證這兩個詢問有且僅有乙個被處理了（暫時無法處理的那個就pass掉）。

（3）lca演算法

假設為(u,v)，u為此時已經搜完的子樹的根節點，v的位置就只有兩種可能，一種是在u的子樹內，另一種就是在其之外。

對於在u的子樹內的話，最近公共祖先肯定是可以直接得出為u；

對於在u的子樹之外的v，我們已經將v搜過了，且已經知道了v的祖先，那麼我們可以根據dfs的思想，v肯定是和u在一顆子樹下的，而且這顆子樹是使得他們能在一顆子樹下面深度最深的。而這個子樹的根節點剛好就是v的並查集所儲存的祖先。所以對於這種情況的(u,v)，它們的最近公共祖先就是v的並查集祖先

。關於並查集，這篇部落格說的很清楚。

intfind(

intu)

//並查集，獲取nd的父親節點

intunion(

intu,

intv)

//並查集操作，將子樹節點和根節點合併在一起

else

return

} 通過pare這個陣列，可以找到當前節點的根節點。

最後：void

lca(

introot)

vis[root]=1;

sz=que[root].size();

for(i=0;i

} return

; }

根據tarjanlca的實現演算法可以看出，只有當某一棵子樹全部遍歷處理完成後，才將該子樹的根節點標記為已訪問（vis[root]=1)，假設程式按上面的樹形結構進行遍歷，首先從節點1開始，然後遞迴處理根為2的子樹，然後遞迴處理根為5的子樹，當子樹處理完後，節點5標記為已訪問（vis[5]=1)，處理和5相關的查詢（見程式lca中的14行，節點2未被訪問，跳過），返回，將（5，2）合併，pare[5]=2,修改子樹的祖先也指向root

。以此類推，當子樹2處理完畢後，節點2， 5， 6均已訪問；接著要回溯處理3子樹，首先被訪問的是節點7（因為節點7作為葉子不用深搜，直接處理），接著節點7就會檢視所有詢問(7, x)的節點對，假如存在(7, 5)，因為節點5已經被訪問，所以就可以斷定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即節點1（因為2子樹處理完畢後，子樹2和節點1進行了union，find(5)返回了合併後的樹的根1，此時樹根的ancestor的值就是1）。

建議：大家親自走一遍程式。

**：#include

#include

using

namespace

std;

#define size 11111 //節點個數

vector

> node[size],que[size];

intn,pare[size],anse[size],in[size],rank[size],querynum;

intvis[size];

void

init()

memset(vis,0,sizeof

(vis));

memset(in,0,sizeof

(in));

memset(anse,0,sizeof

(anse));

} int

find(

intu)

//並查集，獲取u的父親節點

intunion(

intu,

intv)

//並查集操作，將子樹節點和根節點合併在一起

else

return

} void

lca(

introot)

vis[root]=1;

sz=que[root].size();

for(i=0;i

} return

; }

intmain()

} intfind(

intu)

//並查集，獲取nd的父親節點

intunion(

intu,

intv)

//並查集操作，將子樹節點和根節點合併在一起

else

return

} while（querynum!=0）

for(i=1;i<=n;i++)

if(in[i]==0)

break

;//尋找根節點

lca(i);

} return

}

LCA的離線演算法

LCA離線演算法tarjan

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LCA的離線演算法Tarjan

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