先看下面的圖：
任給乙個三角形，當你從某個頂點沿著三角形逆時針運動時，你會發現三角形內部的點始終在你的左手邊。所以這就給了我們啟示：如果能判斷乙個點在三條有向線段的左邊，而且這三條有向線段構成乙個三角形（首尾相接），那麼這個點就在這個三角形內。
所以現在的問題是如何快速判斷乙個點在直線的左邊還是右邊。學過解析幾何的同學都知道：利用兩點的座標就可以求出過2點的直線方程，而一條直線將平面分割成2個平面，如果我們指定這條直線的方向，那麼就可以將要判定的點帶入直線方程，看其符號：
如圖，當p點座標帶入方程大於0，我們便得知p點位於直線左側了。
原理上可行但是我們要求直線的方程，這樣會不會過於麻煩了呢？確實，事實上，我們有更好的辦法：向量。我們可以利用向量的叉積，如圖：
知道ap
→×ab
−→−=
−ab→
×ap−
→−，這
是乙個好
性質，當
p位於a
b的兩側
時，ab
→×ap
−→−會
異號，a
p→×a
b−→−
=∣∣∣
ap→∣
∣∣∣∣
ab−→
−∣∣sinθ,
剛好也等
於兩個向
量所構成
的三角形
面積的2
倍。
到這裡我們的集合描述就差不多了。現在看一下代數性質。
假設有2個三維向量a→
=(x1
,y1,
z1),
b→=(
x2,y
2,z2
) 則叉積為： a→
×b→=
∣∣∣∣
ix1x
2jy1
y2kz
1z2∣
∣∣∣
當在平面上時，我們可以認為z分量為0，那麼就有： a→
×b→=
∣∣∣∣
ix1x
2jy1
y2k0
0∣∣∣
∣=(x
1y2−
x2y1
)k 這
裡的a→
,b→分
別代表的
應該是a
p−→−
，ab−
→−，一
般情況下
我們的原
始資料應
該是a、
b、p三
個點的坐
標 鄧老師的課件上的公式卻是乙個3*3的行列式：
開始不明白這個怎麼來得，後來才明白利用了行列式的技巧： ∣∣
∣∣∣p
xqxs
xpyq
ysy1
11∣∣
∣∣∣=
∣∣∣∣
∣pxq
x−px
sx−p
xpyq
y−py
sy−p
y100
∣∣∣∣
∣ =∣
∣∣∣∣
0qx−
pxsx
−px0
qy−p
ysy−
py10
0∣∣∣
∣∣=∣
∣∣qx
−pxs
x−px
qy−p
ysy−
py∣∣
∣ 到這裡就基本明白了。在實際編寫程式的時候依然還是轉化為代數：
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