世界上最完美的公式 尤拉公式

2021-07-25 10:47:00 字數 2066 閱讀 1257

摘自:

尤拉公式

在數學歷史上有很多公式都是尤拉(leonhard euler 公元1707-2023年)發現的,它們都叫做

尤拉公式,它們分散在各個數學分支之中。

(1)分式裡的尤拉公式: 

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 

當r=0,1時式子的值為0 當r=2時值為1 

當r=3時值為a+b+c 

(2)復變函式論裡的尤拉公式:

e^ix=cosx+isinx,e是自然對數的底,i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數,建立了三角函式和指數函式的關係,它在復變函式論裡占有非常重要的地位.

將公式裡的x換成-x,得到:

e^-ix=cosx-isinx,然後採用兩式相加減的方法得到: 

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:

e^i∏+1=0. 這個恒等式也叫做尤拉公式,它是數學裡最令人著迷的乙個公式,它將數學裡最重要的幾個數學聯絡到了一起:兩個超數:自然對數的底e,圓周率∏,兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1,以及數學裡常見的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」,我們只能看它而不能理解它。

雖然不敢肯定她是世界上「最偉大公式",但是可以肯定她是最完美的數學公式之一。 

理由如下: 

1。自然界的 e 含於其中。 

自然對數的底,大到飛船的速度,小至蝸牛的螺線,誰能夠離開它? 

2。最重要的常數 π 含於其中。 

世界上最完美的平面對稱圖形是圓。「最偉大的公式」能夠離開圓周率嗎? 

(還有π 和e是兩個最重要的無理數!)

3。最重要的運算符號 + 含於其中。 

之所以說加號是最重要的符號,是因為其餘符號都是由加號派生而來。減號是加法的逆逆運算,乘法是累計的加法…… 

4。最重要的關係符號 = 含於其中。 

從你一開始學算術,最先遇見它,相信你也會同意這句話。 

5。最重要的兩個元在裡面。 

零元 0 ,單位元 1 ,是構造群,環,域的基本元素。如果你看了有關《近世代數》的書,你就會體會到它的重要性。 

6。最重要的虛單位 i 也在其中。 

虛單位 i 使數軸上的問題擴充套件到了平面,而在哈密爾的 4 元數與 凱萊的 8 元數中也離開不了它。 

之所以說她美,是因為這個公式的精簡。她沒有多餘的字元,卻聯絡著幾乎所有的數學知識。 

有了加號,可以得到其餘運算符號; 

有了0,1,就可以得到其他的數字; 

有了 π 就有了圓函式,也就是三角函式; 

有了 i 就有了虛數,平面向量與其對應,也就有了哈密爾的 4 元數,現實的空間與其對應; 

有了 e 就有了微積分,就有了和工業革命時期相適宜的數學。 

(3)三角形中的尤拉公式:

設r為三角形外接圓半徑,r為內切圓半徑,d為外心到內心的距離,則: d^2=r^2-2rr 

(4)拓撲學裡的尤拉公式:

v+f-e=x(p),v是多面體p的頂點個數,f是多面體p的面數,e是多面體p的稜的條數,x(p)是多面體p的尤拉示性數。

如果p可以同胚於乙個球面(可以通俗地理解為能吹脹而繃在乙個球面上),那麼x(p)=2,如果p同胚於乙個接有h個環柄的球面,那麼x(p)=2-2h。

x(p)叫做p的尤拉示性數,是拓撲不變數,就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量,是拓撲學研究的範圍。

在多面體中的運用:

簡單多面體的頂點數v、面數f及稜數e間有關係

v+f-e=2

這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。

(5)初等數論裡的尤拉公式:

尤拉φ函式:φ(n)是所有小於n的正整數裡,和n互素的整數的個數。n是乙個正整數。

尤拉證明了下面這個式子:

如果n的標準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中眾pj(j=1,2,……,m)都是素數,而且兩兩不等。則有

φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)

利用容斥原理可以證明它。

此外還有很多著名定理都以尤拉的名字命名。

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尤拉公式為世界上最完美的公式

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