經典演算法之揹包問題

問題描述：有乙個揹包容量為m，一堆物品其重量表示為w=，物品相應的價值v=，現在要求將物品中的一部分或全部，放入揹包。要求：裝入物品的總價值最高；同時滿足裝入物品總重量不超過m；對單個物品而言，狀態可為：裝入揹包、不裝入揹包、一部分裝入揹包。

假設裝入的物品為從w(i)到w(j)，則有：

對於完全揹包而言，我們採用的常見演算法為：貪心演算法。貪心規則為：每次放入的物品必須滿足單位重量價值最高，即v(i)/w(i)最大。

第一步：計算單位重量價值：

第二步：放物品，按照單位重量價值來說6>5>4，因此放入順序為w(1)、w(2)、w(3)。

顯然w(1)完全放入後，揹包未滿；因此完全放入w(2)後，揹包仍未滿；但是此時若繼續全部放入w(3)，顯然無法全部放入，只能放入三分之二的w(3)。

相對於完全揹包問題而言，0/1揹包問題多了一條規則：

物品放入規則，要麼全部放入，要麼不放入；不能部分放入！！

這個看似把問題簡單化的規則，實際上讓問題變得更加複雜。仔細想想就知道先前的貪心演算法在這裡失效了。因為前面的貪心規則無法保證單位重量價值最大物品一定被取到。

對於0/1揹包問題，常採用的演算法是：動態規劃。之前的一篇關於動態規劃詳細講解的文章：

顯然對於動態規劃而言，最核心的事情就是尋找「狀態轉移函式」！！！

在尋找狀態轉移函式之前，說說下面這個裝包過程最注意的一點就是，我們是嘗試性裝包，也就是說，一邊往裡面放，但受容量限制，還有可能拿走揹包裡面之前的物品，以滿足不超重！！！尋找狀態轉移函式：

（1）假設我們正在將物品向背包裡面瞎裝一通，此時恰好裝到第i個物品。

（2）假設我們運氣足夠好，前面裝了的i-1個恰好是區域性最優解。換句話說，不可能找到其他i-1個物品放進揹包能擁有更大的效益值。

（3）由於是0/1揹包問題，此時我們必須要決定第i個物品到底放不放入揹包？在這裡，放入不放入最直觀的解釋就是：如果放入物品，整個效益值提高，就決定放入；反之，則不放入。這裡要注意了，因為我們是既往裡面裝，又可能往外面拿的過程。受容量限制，可能你把第i個放進去了，同時也需要從裡面拿乙個出來。！自然分兩種情況討論；

（4）當第i個物品不放入揹包時，設設總的效益值為c[i-1,j]，其中i-1表示揹包中已經放入了i-1個物品，j表示揹包的容量。（這裡的i，j主要是為了程式設計的方便，因為是通過迴圈的方式逐漸增大i，j來選擇物品是否放入的，可參考圖1。）

（5）當第i個物品放入揹包，放入揹包之後，總的效益值就應該為c[i-1,j-w(i)]+v(i)，其中i表示揹包中已經放入了i個物品，j-w(i)表示揹包剩餘的容量。

（6）比較c[i-1,j]和c[i-1,j-w(i)]+v(i)的大小，來決定是否放入。如果c[i-1,j]

因此狀態轉移方程為：

計算情況如圖1：

**實現：

############################
#動態規劃之0/1揹包問題
#by:zkj
#2023年12月18日
############################
from numpy import zeros
def pack(weight,value,capacity):
itemcnt = len(weight) #物品數量
totalvalue = zeros([itemcnt+1,capacity+1],int) #存放歷史最優解的陣列 
for i in range(0,itemcnt+1): ##狀態轉移函式實現
for j in range(0,capacity+1):
if (i == 0) or (j == 0):
totalvalue[i][j] = 0
elif j < weight[i-1]:
totalvalue[i][j] = totalvalue[i-1][j]
else:
totalvalue[i][j] = max(totalvalue[i-1][j],totalvalue[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1]) 
return totalvalue
def printresult(totalvalue,weight,value,capacity):
itemcnt = len(weight)
print("揹包能裝的最大效益值:\n",max(totalvalue[itemcnt]))
print("裝入揹包的物品有:")
i = itemcnt;j = capacity
while i >= 0:
if totalvalue[i][j] == totalvalue[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1]:
print(i,end = "") #結尾不換行
j = j-weight[i-1]
i -=1
return
weight = (5,3,7,4) #物品重量
value = (3,2,9,5) #物品價值
maxcapacity = 15 #揹包容量
statemat = pack(weight,value,maxcapacity)
printresult(statemat,weight,value,maxcapacity)

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