斐波那契數列及青蛙跳台階問題

題目1：

寫乙個函式，輸入n，求斐波那契（fibonacci）數列的第n項。

斐波那契（fibonacci）數列定義如下：

f(n)=

⎧ ⎩

⎨ ⎪

⎪ 0,

1, f(n−1)+f(n−2),

n=0

n=1

n>2

效率很低的解法：

遞迴解法（效率很低）

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long long fibonacci_solution1(unsigned int n)

2 迴圈解法：改進的演算法：從下往上計算。首先根據f(0)和f(1)算出f(2)，再根據f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此類推就可以算出第n項了。很容易理解，這種思路的時間複雜度是o(n)。實現**如下：

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long long fibonacci(unsigned n)

; if(n < 2)

return result[n];

long long fibminusone = 1;  
long long fibminustwo = 0; 
for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i) 
return fibn;

可以把n級台階時的跳法看成是n的函式，記為f(n)。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於後面剩下的n-1級台階的跳法數目，即為f(n-1);另一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於後面剩下n-2級台階的跳法數目，即為f(n-2)。因此，n級台階的不同跳法的總數f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到這裡，不難看出這實際上就是斐波那契數列了。

與斐波那契數列不同的是，其初始值定義稍有不同，

當n=1時，只能跳一級台階，一種跳法

當n=2時，一次跳一級或兩級，兩種跳法

所以，關於青蛙跳台階的定義如下：

1,n=1

f(n)= 2,n=2

f(n−1)+f(n−2),n>2

非遞迴寫法

long
long frogjump12step(int n) 
if (n == 1) 
return
1; 
if (n == 2) 
return
2; 
int frognminusone = 2;//f(n-1)=2 
int frognminustwo = 1;//f(n-2)=1 
int frogn = 0; 
for (unsigned
int i = 3; i <= n;++i) 
return frogn; 
}

遞迴解法

long
long frogjump12steprecursive(int n) 
if (n == 1) 
return
1; 
if (n == 2) 
return
2; 
return frogjump12steprecursive(n - 1) + frogjump12steprecursive(n - 2); 
}

題目3：

乙隻青蛙一次可以跳上1級台階，也可以跳上2級。。。。。它也可以跳上n級，此時該青蛙跳上乙個n級的台階總共有多少種跳法？

用數學歸納法可以證明：

f(n)=2^(n-1)

遞迴式證明：

當n = 1 時，只有一種跳法，即1階跳：fib(1) = 1;

當n = 2 時，有兩種跳的方式，一階跳和二階跳：fib(2) = fib(1) + fib(0) = 2;

當n = 3 時，有三種跳的方式，第一次跳出一階後，後面還有fib(3-1)中跳法；第一次跳出二階後，後面還有fib(3-2)中跳法；第一次跳出三階後，後面還有fib(3-3)中跳法

fib(3) = fib(2) + fib(1)+fib(0)=4;

當n = n 時，共有n種跳的方式，第一次跳出一階後，後面還有fib(n-1)中跳法；第一次跳出二階後，後面還有fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n階後, 後面還有 fib(n-n)中跳法.

fib(n) = fib(n-1)+fib(n-2)+fib(n-3)+……….+fib(n-n)=fib(0)+fib(1)+fib(2)+…….+fib(n-1)

又因為fib(n-1)=fib(0)+fib(1)+fib(2)+…….+fib(n-2)

兩式相減得：fib(n)-fib(n-1)=fib(n-1)

*****》 fib(n) = 2*fib(n-1) n >= 2

遞迴等式如下：

1,n=1

f(n)= 2,n=2

2∗f(n−1),n>2

所以：

f(n)=2∗f(n−1)=2∗2^(n−2)….=2^(n−1)∗f(0)=2^(n−1)

非遞迴解法：

long
long frogjump12nstep(int n) 
else
if (n == 1) 
return
1; 
else 
return fn; 
} }

遞迴解法

long
long frogjump12nsteprecursive(int n) 
else
if (n == 1) 
return
1; 
else
if (n == 2) 
return
2; 
else
return
22 * frogjump12nsteprecursive(n - 1); 
}

題目4：

小矩形覆蓋大矩形，用2*1的小矩形橫著或豎著去覆蓋各大矩形。

思路：設題解為f(n),

第一步：若第一塊矩形豎著放，後邊還有n-1個2*1矩形，即此種情況下，有f(n-1)種覆蓋方法。

第二部：若第一塊橫著放，後邊還有n-2個2*1矩形，此種情況下，有f(n-2)種覆蓋方法。

第三部：可得 f(n)=f(n-1)+f(n-2)

可知，此題可以轉化為其斐波那契數列第n項的值。

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