如果
a 是正定hermite矩陣，則
a可以分解為a=
llh 。證明可見任意矩陣教材。
引理由高斯分布的線性變換性質可知，如果x∼
n(μ,
σ)，並且有滿秩線性變換y=
kx+b
,則y∼
n(kμ
+b,k
σk⊤)
證明：令x=
k−1(
y−b)
，則lnp
(x)=
c+(x
−μ)⊤
σ−1(
x−μ)
=c+[k−1
(y−b
)−μ]
⊤σ−1
[k−1
(y−b
)−μ]
] =c
+[y−
b−kμ
]⊤(k
−1)⊤
σ−1k
−1(y
−b−k
μ)因此，此時y∼
n(kμ
+b,k
σk⊤)
。證畢。
對任意高斯分布進行取樣如果x
∼n(0
,i) ，欲對y∼
n(μ,
σ)進行取樣，則首先對精度矩陣進行cholesky分解，即λ=
ll⊤ .進而，令y=
(l⊤)
−1x+
μ ,即可將標準正態分佈進行線性變換，得到任意高斯分布的樣本。
繪製橢圓
原理同對任意高斯分布進行取樣，標準正態分佈可當做標準圓，橢圓可當做任意高斯分布。通過將標準圓上的點進行變換：y=
(l⊤)
−1x+
b ，即可。
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