羅素悖論催生現代模型論的誕生
1902
年，英國哲學家羅素（bertrandrussell
，1872-1970）發現在傳統樸素集合論存在似是而非的「悖」（paradox），鐵板釘釘，震動業界。
羅素使用傳統集合論的幾個符號，試問，以下等式成立於否s=
十分顯然，如果s∈
s，那麼，s∉
s，反之，如果s∉
s，那麼，s∈
s。由此可見，
s是乙個集合怪物，不是傳統的集合。
如何在集合論中驅趕怪物，催生了公理化（完全採用形式化語言表述）集合論的誕生。到了上世紀50年代，美國數理邏輯大家tarski，帶領他的研究團隊，對許多代數理論（群、環、域等），採用形式化語言進行分析研究發現，乙個代數理論（句子集合），可能存在多種不同的「模型」。
the objects of study
（模型論的研究物件） are models of theories in a formal language
.但是，在模型論中，什麼是「理論」呢？
在模型論中，「a set of sentences in a formal language
is called atheory」，也就是說，形式語言寫出來的「句子集合」就叫「理論」（當然假定這個句集有意義）。
人們使用同一理論的不同模型，可以根據需要進行自主選擇。如果採用公理化方法，一切思想都用形式化語言表述，傳統極限論微積分與無窮小微積分，都是同一種微積分學，只是採用的數學模型不同而已。
羅素悖論引發基礎數學形式化方法（公理化方法）的大普及，導致模型論的誕生。
袁萌2月22日
羅素悖論和正則公理
假如我們在zf集合論裡加入這麼一條公理 概括公理 設對於每乙個物件 x 我們都有乙個依賴於 x 的性質 p x 則存在乙個集合 使得 y in leftrightarrow p y mbox 這看上去是一條很好的公理,在高中教科書中事實上也是這麼表述乙個集合的.如果這條公理加入不會導致矛盾,那麼集合...
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埃舍爾的繪畫,自指,以及羅素悖論
畫家埃舍爾擅長製作各種充滿空間悖論的圖畫,令人目眩神馳.我在很久以前就欣賞過埃舍爾的繪畫,但是那時候我的知識儲備並不充分,只是純粹地欣賞,並沒有很多想法.但是今天我偶然地又一次看到了埃舍爾的一幅畫，它立馬使我想到了集合論裡的悖論.這幅畫就是 不知讀者看懂這幅圖沒有.我把它解釋一下.如果我們認為下面那...