歷屆試題矩陣翻硬幣

問題描述

小明先把硬幣擺成了乙個 n 行 m 列的矩陣。

隨後，小明對每乙個硬幣分別進行一次 q 操作。

對第x行第y列的硬幣進行 q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

其中i和j為任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。

當小明對所有硬幣都進行了一次 q 操作後，他發現了乙個奇蹟——所有硬幣均為正面朝上。

小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。於是，他向他的好朋友小m尋求幫助。

聰明的小m告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不願意照做。於是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式

輸入資料報含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。

輸出格式

輸出乙個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。

樣例輸入

2 3

樣例輸出

1 資料規模和約定

對於10%的資料，n、m <= 10^3；

對於20%的資料，n、m <= 10^7；

對於40%的資料，n、m <= 10^15；

對於10%的資料，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

每次變化是變化：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。

//當數值變化到10的1000次方時沒法算，因此推出規律：

先看 n = 1 的情況：對於(1 , m),只要看它翻轉的次數奇偶就能確定它最終的狀態。因為 x = 1，每次第一行都要參與翻轉，當 y 能整除 m 的時候，(1 , m)會翻轉，(1 , m)全過程翻轉的次數取決於 m 的約數個數，1 的約數個數為1 ， 3 的約數個數為2， 5 的約數個數為2， 9 的約數個數為3。當 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其約數個數為奇數，否則其約數個數為偶數。因為一般數約數都是成對出現，而乙個數的平方數，有兩個約數相等。

所以，最後(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最終狀態為0，其他則為1。

而最後0的個數總和 count = sqrt(m) , 取整。

再來看一般情況：(n , m)最後狀態是什麼？現在行的變化也是它翻轉的因素。從上面容易推出，當m確定後，他的翻轉次數為 n 的約數個數。而(n , m)翻轉的次數 = (n的約數個數 * m的約數個數)。剛才分析了，只有在(n , m)翻轉的次數為奇數時 它的最終狀態為 0。而只有 奇數*奇數 = 奇數，所以n ,m的約數個數必須為奇數，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且  m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。
最後得出結論：
對於n行m列矩陣，經過 q 操作後 反面的次數 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整後再相乘)。
終於是找到了公式，可是又有了新的難題，怎麼對1000位數開方呢？這裡先給出定理：
假設位數為len的整數，開方取整後為乙個lensqrt位數。
當len為偶數，lensqrt = len / 2 .
當len為奇數，lensqrt = (len / 2) + 1 .

證明很簡單，這裡就不證了。

現在就簡單了，位數確定了從高位到低位一位一位地確定。比如：sqrt(1028) ，表示對1028開方取整

它開方取整後兩位數.先看第一位：

取 0， 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00

取 1， 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10

取 2， 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20

取 3， 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30

取 4， 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。

第二位：

取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30

取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31

取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32

取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。

#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
string strmultiply(string str1 , string str2)//大數相乘
; int i = 0, j = 0;
for(i = 0; i < len1; i++)
}for(i = 0; i < len1 + len2; i++)
for(i = len1 + len2 - 1; i >= 0 ; i--)
for(j = i; j >= 0; j--)
return strresult;
}int compare(string str1, string str2, int pos)//大數比較，後面加上10的pos次方時
return0;}
string sqrtbignum(string s)//求大數開方
if(j==9)
strresult+='9';
}else
if(j==9)
strresult+='9';}}
return strresult;
}int main()

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