關於已知兩點經緯度求球面最短距離的公式推導

已知兩點經緯度計算球面距離的公式，一搜一大堆，形式如下：

可是至於這個公式為什麼是這樣的，今天推導了一下，詳細推導過程如下。首先畫個圖（圖1），要不然空間想象能力差的話容易犯糊塗。首先對圖1做個大致的說明，紅色的半圓表示赤道，藍色的圓弧表示本初子午線（也就是經度為0的子午線）。球最上方是北極點，點a和點b分別為要計算的兩個點，座標分別為a（ja,wa）和b（jb，wb）。

圖1 示意圖

再開始推導之前，我們需要在圖中繪製一些輔助線，便於後面的描述和推導。如圖1所示，a（ja,wa），b（jb,wb）兩點分別為球面上的兩點，座標為經緯度表示。延a、b兩點分別做垂直於赤道平面的垂線交赤道面為c、d兩點。連線c、d兩點，然後過a做cd的平行線交bd與點e。至此，所有的輔助線繪製完畢。假設地球為乙個規則的圓球，半徑為r（其實地球是乙個橢球體，赤道的半徑比極地的半徑稍微大一點點）。

第一步：確定已知條件，

第二步：在直角

第三步：在平面abcd中，有：

第四步：在直角

第五步：這裡需要引入乙個公式（5），就是大名鼎鼎的餘弦定理，假設三角形的三個角為a,b,c，則有：

第六步：我們已經知道ab的直線距離，那麼ab的弧長距離可以先通過計算

把式（6）帶入式（7），化簡得到：

最終，我們得到了乙個關於圓心角

第七步：知道圓心角

所以最後我們就得到了球面上ab的距離應該是：

最後使用公式（10）就可以編寫**來計算球面上任意兩點間的最短距離了。這裡使用的是乙個規則的球來代替的橢球的，肯定會有誤差的，一般都用這個公式來進行計算。**就不寫了，也就一兩句話就出來了。最後需要注意的就是，需要把經緯度都化成弧度單位。

…………………………………………………華麗的分割線………………………………………………

……………………………………以下內容更新於2023年1月30日…………………………………………

昨天使用立體幾何的知識推導了一下球面兩點的距離公式，發現比較複雜，今天想到乙個簡單的方法，使用空間直角座標系來推導，很方便。首先我們需要建立乙個空間座標系：在赤道平面內，x軸由球心o指向本初子午線，y軸在赤道平面內垂直於x軸，z軸垂直於赤道平面朝向北極。還是假設ab兩點的經緯度座標為：a（ja，wa），b（jb，wb）。由該座標系的定義以及經緯度的定義可以把上面的ab兩點的座標轉換為該座標系中的座標如下：

由兩點距離公式可以得到ab的直線距離為：

對於球面上的任意乙個點（x，y，z），都有：

好了，大功告成，是不是比用立體幾何要簡單的多。接下來就是用上面的弦長和弧長的關係來計算ab的弧長就可以了。

關於已知兩點經緯度求球面最短距離的公式推導

已知兩點經緯度計算球面距離的公式，一搜一大堆，形式如下 可是至於這個公式為什麼是這樣的，今天推導了一下，詳細推導過程如下。首先畫個圖 圖1 要不然空間想象能力差的話容易犯糊塗。首先對圖1做個大致的說明，紅色的半圓表示赤道，藍色的圓弧表示本初子午線 也就是經度為0的子午線 球最上方是北極點，點a和點b...

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