各向異性濾波演算法數學模型分析

主要是用來平滑影象的，克服了高斯模糊的缺陷，各向異性擴散在平滑影象時是保留影象邊緣的（和雙邊濾波很像）。

通常我們有將影象看作矩陣的，看作圖的，看作隨機過程的，記得過去還有

看作力場的。

這次新鮮，將影象看作熱量場了。每個畫素看作熱流，根據當前畫素和周圍畫素的關係，來確定是否要向周圍擴散。比如某個鄰域畫素和當前畫素差別較大，則代表這個鄰域畫素很可能是個邊界，那麼當前畫素就不向這個方向擴散了，這個邊界也就得到保留了。

先看下效果吧：

具體的推導公式都是熱學上的，自己也不太熟悉，感興趣的可以去看原**，引用量超7000吶。

我這裡只介紹一下最終結論用到的公式。

主要迭代方程如下：

其中lamda取值[0,1/4],其中1/4表示四個方向擴散平均量（可以說保證不溢位），可以用來調節平滑性！！！可能有些人對於上面的式子會不會存在畫素值溢位的情況！這裡說明下，可以說絕對不會，因為上面是擴散的原理，擴散告訴我們大的往小的跑達到中和平滑的目的，假如中心點的畫素的值為255，那麼周圍畫素要麼相等要麼小於，故這樣的中心的畫素的值只會往外面擴散，或者不動不擴散！

i就是影象了，因為是個迭代公式，所以有迭代次數t。

四個散度公式是在四個方向上對當前畫素求偏導，news就是東南西北嘛，公式如下：

而cn/cs/ce/cw則代表四個方向上的導熱係數，邊界的導熱係數都是小的。公式如下：

最後整個公式需要先前設定的引數主要有三個，迭代次數t，根據情況設定；導熱係數相關的k，取值越大越平滑，越不易保留邊緣（失去對邊沿資訊保留，即邊沿資訊將擴散掉，結合函式模型去理解）；lambda同樣也是取值越大越平滑。

那麼問題來了，為什麼用這樣的數學模型？鄙人真心難解釋，我深深的仰望前輩們，也希望可以在前輩們的豐功偉績中吸收點養分！

經過抓撓了一段時間，將上面的關係建成數學表示式，試圖通過幾何畫出該函式的模型：

其中f（x）=x*exp（-x^2）（該模型可以說是高斯函式一階導函式：達到sobel+高斯的雙重合併效果），上圖紅線表示高斯函式，藍線表示高斯的一階導函式。

通過該函式圖分析，的確很清晰的表明了關係，當x大到一定程度的時候其函式值收斂為0，這也就是說明當畫素之間的差值很大的時候，函式值也是為0，也就可以表明這是邊沿，這個時候不需要向外擴散。但也表明在一定的範圍內，差值在一定範圍內，也就是平滑範圍，差值在該範圍內的都視為是平滑，也就是不變平擔區域，需要擴散，可能是鄰域向中間聚集，可能是中心向外擴散。擴散過程就是讓中心與周圍的畫素的差異不要太大，分一點給他們，或者他們分一點給中心，因此該演算法用於平滑影象，同時又極大程度的保留了邊沿，這也是高斯演算法和均值演算法無法比你的優勢！！！

除了上面的函式模型外還有另外乙個函式：

這個函式模型也是可以的，f(x) = 1/(1+(x/k)^2)，對於上面的模型其中k=1

以上兩個函式模型比較：

兩者太相似了，兄弟函式！我們找這樣函式的本質是當值很大（正無窮或者負無窮）的時候收斂於0！

最後是matlab**：

clear all;
close all;
clc;
k=15
; %導熱係數,控制平滑
lambda=0.15
; %控制平滑
n=20
; %迭代次數
%當前畫素的散度，對四個方向分別求偏導，區域性不同方向上的變化量，
%如果變化較多，就證明是邊界，想方法保留邊界
ni=img(p-1,q)-img(p,q);
si=img(p+1,q)-img(p,q);
ei=img(p,q-1)-img(p,q);
wi=img(p,q+1)-img(p,q);
%四個方向上的導熱係數，該方向變化越大，求得的值越小，從而達到保留邊界的目的
cn=exp(-ni^2/(k*k));
cs=exp(-si^2/(k*k));
ce=exp(-ei^2/(k*k));
cw=exp(-wi^2/(k*k));
imgn(p,q)=img(p,q)+lambda*(cn*ni+cs*si+ce*ei+cw*wi); %擴散後的新值 
endend
img=imgn; %整個影象擴散完畢，用已擴散影象的重新擴散。
endfigure;
imshow(imgn,);

參考：

1、《特徵提取與影象處理（第二版）》

各向異性濾波演算法 數學模型分析

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matlab各向異性擴散濾波

各向異性擴散

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