巧克力棒(chocolate)
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題目描述
lyk 找到了一根巧克力棒，但是這根巧克力棒太長了，lyk 無法一口吞進去。
具體地，這根巧克力棒長為 n，它想將這根巧克力棒折成 n 段長為 1 的巧克力棒，然後
慢慢享用。
它打算每次將一根長為 k 的巧克力棒折成兩段長為 a 和 b 的巧克力棒，此時若 a=b，則
lyk 覺得它完成了一件非常困難的事，並會得到 1 點成就感。
lyk 想知道一根長度為 n 的巧克力棒能使它得到最多幾點成就感。
輸入格式(chocolate.in)
第一行乙個數 n。
輸出格式(chocolate.out)
乙個數表示答案。
輸入樣例
7輸出樣例
4資料範圍
對於 20%的資料 n<=5。
對於 50%的資料 n<=20。
對於 80%的資料 n<=2000。
對於 100%的資料 n<=1000000000。
樣例解釋
將 7 掰成 3+4， 將 3 掰成 1+2， 將 4 掰成 2+2 獲得 1 點成就感， 將剩下的所有 2 掰成 1+1
獲得 3 點成就感。總共 4 點成就感。
1 #include2 #include3 #include4using
namespace
std;
5long
long
a,b;
6int
main()
715 printf("
i64d
",b);
1617
return0;
18}19/*
20思路（解析）：
21發現ans=n-c(n)。c(n)表示n的二進位制中1的個數。
2223
粘乙個嚴謹的證明(其實我自己也沒認真看)
24我們對c(n)進行歸納。
25當c(n)=1時，即n=2^k，ans(n)顯然=(n-1)。
26我們假設c(n)<=x的情況下ans(n)=n-c(n)都成立。
27當c(n)=x+1時，我們要證明ans(n)=n-c(n)。
28令j為不超過n的2的冪次的最大值，
29有ans(n)=ans(n-j)+ans(j)=n-j-(c(n)-1)+j-1=n-c(n)。
30即ans(n)的下界為n-c(n)。
31將ans(n)分成兩個數i,j時有c(i)+c(j)>=c(n)。
32當i不等於j時，有ans(n)<=i-c(i)+j-c(j)<=n-c(n)。
33當i=j時，有c(i)+c(j)=2*c(n)，
34ans(n)<=i-c(i)+j-c(j)+1<=n-c(n)*2+1，c(n)是正整數。
35綜上，ans(n)的上界也為n-c(n)。假設成立
36*/
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