降維方法 主成分分析（PCA）

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pca（principle component analysis）主成分分析，主要應用於資料降維，它是一種非監督的降維方法，主要捕獲觀測資料之間的變異程度。

當資料集的維度過高之後，運用各種演算法處理起來的時間複雜度可能會很高，所以需要對資料進行降維處理，而且可以盡量保證資料的資訊丟失最少。總的來說，pca的過程步驟如下：

設有 m

m條 n

' role="presentation" style="position: relative;">n

n維資料；

（1）、將原始資料按列組成 n∗

m n∗m

的矩陣

x x

； （2）、將

x' role="presentation" style="position: relative;">x

x的每一行（代表乙個屬性字段）進行零均值化，即減去這一行的均值；

（3）、求出協方差矩陣：c=

1mx⋅xtc

=1mx

⋅xt（4）、求出協方差矩陣的特徵值及其對應的特徵向量；

（5）、將特徵向量按對應特徵值大小從上到下按行排列成矩陣，取前

k k

行組成矩陣

p' role="presentation" style="position: relative;">pp；

（6）、y=pxy

=px即為降維到

k k

維後的資料；

我們主要目的是：實現資料的降維，並且能夠保證資料盡可能不要丟失資訊。

這裡需要實現的就是兩點：

（1）、最大化資料投影後的方差；

（2）、使降維後資料之間的重疊資訊盡量少，也就是新的

k' role="presentation" style="position: relative;">k

k維空間的基向量相互正交。

所以導致了乙個結果：

（1）、降維後資料的協方差矩陣應該是對角矩陣；

（2）、而且對角線上的元素值盡可能大。

最後推導得到：

優化目標變成了尋找乙個矩陣

p p

，滿足p⋅c

⋅pt' role="presentation" style="position: relative;">p⋅c

⋅ptp

⋅c⋅p

t是乙個對角矩陣，並且對角元素按從大到小依次排列，那麼p的前k行就是要尋找的基，用p的前k行組成的矩陣乘以x就使得x從n維降到了k維並滿足上述優化條件。

pca捕捉了大部分**變數方差，第乙個主成分是在所有可能的線性組合中能夠捕捉最多**變數方差的組合。之後的主成分依次與之前的主成分不相關。

pca作為非監督的降維方法，也不會考慮資料的測量標度和分布，它不會考慮結局變數。所以，沒有相關的指導資訊，可能得到的主成分與最終的結局變數沒有任何關係。

pca演算法乙個簡單的實現：github

from sklearn.decomposition import pca   

pca = pca(n_components=1) 
newdata = pca.fit_transform(data)

PCA主成分分析（降維）

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