前言
在做slam研究的時候，會涉及到對旋轉矩陣求導的問題。這時候需要使用矩陣李群的知識，將旋轉或者變換等矩陣李群形式，對映到李代數上求解。本文主要涉及兩個特殊矩陣李群：特殊正交群（special orthogonal group）so(3)，表示旋轉；特殊歐幾里得群（special euclidean group）se(3)，表示位姿。
1 群的定義
群（group）是乙個集合加上一種運算所構成的代數結構。該運算將兩個元素a和b組成另外乙個元素，記為a·b或者ab。記集合為g，運算為· ，則當滿足一下四個性質的時候，稱(g, •)為乙個群。
（1）封閉性（closure）：任意a，b屬於g，有a·b仍然屬於g;
（2）結合性（associativity）：任意a，b，c屬於g，有(a·b)·c = a·(b·c);
（3）單位元（么元）（identity）：存在a0屬於g，對任意b屬於g，均有a0·b = b·a0= b;
（4）逆元（invertibility）：任意a屬於g，存在a-1屬於g，使得a·a-1= a0 。
2 特殊正交群和特殊歐幾里得群
特殊正交群：
特殊歐幾里得群：
李群：• 李群是乙個微分流形，群上的操作是光滑的。
• 矩陣李群的元素是矩陣，群上的運算是矩陣乘法，元素的逆即矩陣的逆。
• so(3)和se(3)都是李群，但是只對乘法封閉，對加法不封閉，不適合做微分、求導運算。
3 李代數
3.1 李代數定義
對於任意乙個李群，都存在乙個李代數與之對應。李代數是一種位於向量空間的代數結構。李代數包含乙個集合v，乙個數域f和乙個二元運算[ , ]。如果它們滿足一下四條性質（封閉性、雙線性、自反性、雅克比等價），就稱(v, f, [ , ]) 為乙個李代數。
（1）封閉性（closure）：[x,y]屬於v,
（2）雙線性（bilinearity）：[ax+by,z] = a[x,z]+b[y,z], [z, ax+by]= a[z,x]+b[z,y],
（3）自反性（alternating）：[x,x] =0,
（4）雅克比等價（jacobi identity）：[x, [y,z]] + [z, [x,y]] +[y, [z,x]] =0
3.2 李代數的引出過程
3.3 旋轉和變換的李代數so(3)和se(3)
與so(3)對應的李代數是so(3)：
與se(3)對應的李代數是se(3):
4 指數對映和對數對映
4.1 指數對映
指數對映是從李代數對映到李群的一種方式。
為了定義矩陣指數運算，需要用到泰勒展開式。
令關於即羅德里格斯公式。這說明so(3)的物理意義就是旋轉向量。
對於se(3)和se(3)，也能得到類似的指數對映關係。
4.2 對數對映
同理，給定旋轉矩陣（李群元素），也能求出對應的李代數。
實際中可以採用下面的公式來求解。
小結
本文的內容參考了《state estimation for robotics》，以及高博（半閒居士）的slam公開課，如有錯誤，敬請指正。
視覺SLAM中的李群 李代數基礎
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SLAM學習 李群李代數
1.李群 李群是具有連續 光滑 性質的群 它既是群也是流行 直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so 3 和se 3 都是李群。注 so 3 是特殊正交群 se 3 是特殊歐式群，由於旋轉矩陣r是3乘3的維度，但自由度的約束只有3個自由度，所以旋轉矩陣r在9維空間中是乙個連續的3維曲面或流形...
SLAM中的李群與李代數
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