三維旋轉矩陣構成了特殊正交群so(3)，而變換矩陣構成了特殊歐氏群se(3)。那什麼是群呢？群（group）是一種集合加上一種運算的代數結構。我們把集合記作a，運算記作（·），那麼群可以記作g = (a， ·)。群要求這個運算滿足以下幾個條件：
李群是指具有連續（光滑）性質的群。像整數群z 那樣離散的群沒有連續性質，所以不是李群。而so(n) 和se(n)，它們在實數空間上是連續的。我們能夠直觀地想象乙個剛體能夠連續地在空間中運動，所以它們都是李群。下面是特殊正交群so(3)，特殊歐氏群se(3)。
每個李群都有與之對應的李代數。李代數描述了李群的區域性性質。通用的李代數的定義如下：李代數由乙個集合v，乙個數域f 和乙個二元運算[，] 組成。如果它們滿足以下幾條性質，稱(v， f， [， ]) 為乙個李代數，記作g。其中二元運算被稱為李括號。從表面上來看，李代數所需要的性質還是挺多的。相比於群中的較為簡單的二元運算，李括號表達了兩個元素的差異。它不要求結合律，而要求元素和自己做李括號之後為零的性質。
特殊正交群so(3) 對應的李代數so(3)是定義在三維空間上的向量，我們記作ϕ。根據前面的推導，每個ϕ 都可以生成乙個反對稱矩陣：
由於ϕ 與反對稱矩陣關係很緊密，在不引起歧義的情況下，就說so(3) 的元素是3 維向量或者3 維反對稱矩陣，不加區別。它們是乙個由三維向量組成的集合，每個向量對應到乙個反對稱矩陣，可以表達旋轉矩陣的導數。
so(3)與so(3) 的關係由指數對映給定：
exp(ϕ^) 是如何計算的？它是乙個矩陣的指數，在李群和李代數中，稱為指數對映，任意矩陣的指數對映可以寫成乙個泰勒展開，但是只有在收斂的情況下才會有結果，其結果仍是乙個矩陣。我們通過計算，可以把指數對映寫成：
這表明，so(3) 實際上就是由所謂的旋轉向量組成的空間，而指數對映即羅德里格斯公式。通過它們，我們把so(3) 中任意乙個向量對應到了乙個位於so(3) 中的旋轉矩陣。反之，如果定義對數對映，我們也能把so(3) 中的元素對應到so(3) 中：
是否對於任意的r 都能找到乙個唯一的ϕ？很遺憾，指數對映只是乙個滿射。這意味著每個so(3) 中的元素，都可以找到乙個so(3) 元素與之對應；但是可能存在多個so(3) 中的元素，對應到同乙個so(3)。至少對於旋轉角theta，我們知道多轉360 度和沒有轉是一樣的——它具有週期性。但是，如果我們把旋轉角度固定在 之間，那麼李群和李代數元素是一一對應的。
對於se(3)，它也有對應的李代數se(3)。與so(3) 相似，se(3) 位於6維 空間中：
我們把每個se(3) 元素記作
那麼se(3) 上的指數對映。是什麼樣子呢？
李群與李代數
先來張整體的從csdn截的圖 該圖 展示了我所認知的李群 李代數抽象概念。這裡，進一步解說下 so 3 是旋轉群，相當於剛體僅作空間轉動的姿態幾何 se 3 是運動群，包括轉動和平動兩部分，上式中t代表位置 x,y,z 一般用p來表示。李代數相當於李群的導數，即角速度 速度 與角度 位置 的關係，代...
李群與李代數基礎
最近在學習slam時第一次遇到李群與李代數的概念，由於一開始不太理解，所以想通過這篇筆記來重新歸納梳理一下。1.李群的概念 李群是具有連續 光滑 性質的群 它既是群也是流行 直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so 3 和se 3 都是李群。注 so 3 是特殊正交群 se 3 是特殊歐式群...
SLAM學習 李群李代數
1.李群 李群是具有連續 光滑 性質的群 它既是群也是流行 直觀上看，乙個剛體能夠連續的在空間中運動，故so 3 和se 3 都是李群。注 so 3 是特殊正交群 se 3 是特殊歐式群，由於旋轉矩陣r是3乘3的維度，但自由度的約束只有3個自由度，所以旋轉矩陣r在9維空間中是乙個連續的3維曲面或流形...