二分查詢法

二分查詢法主要是解決在「一堆數中找出指定的數」這類問題。

而想要應用二分查詢法，這「一堆數」必須有一下特徵：

所以如果是用鍊錶儲存的，就無法在其上應用二分查詢法了。（曽在面試被問二分查詢法可以什麼資料結構上使用：陣列？鍊錶？）

至於是順序遞增排列還是遞減排列，陣列中是否存在相同的元素都不要緊。不過一般情況，我們還是希望並假設陣列是遞增排列，陣列中的元素互不相同。

二分查詢法在演算法家族大類中屬於「分治法」，分治法基本都可以用遞迴來實現的，二分查詢法的遞迴實現如下：

int bsearch(int array, int low, int high, int target)

不過所有的遞迴都可以自行定義stack來解遞迴，所以二分查詢法也可以不用遞迴實現，而且它的非遞迴實現甚至可以不用棧，因為二分的遞迴其實是

尾遞迴，它不關心遞迴前的所有資訊。

int bsearchwithoutrecursion(int array, int low, int high, int target)
//the array does not contain the target
return -1;
}

之前的都是在陣列中找到乙個數要與目標相等，如果不存在則返回-1。我們也可以用二分查詢法找尋邊界值，也就是說在有序陣列中找到「正好大於（小於）目標數」的那個數。

用數學的表述方式就是：

在集合中找到乙個大於（小於）目標數t的數x，使得集合中的任意數要麼大於（小於）等於x，要麼小於（大於）等於t。

舉例來說：

給予陣列和目標數

int array = ;
int target = 7;

那麼上界值應該是11，因為它「剛剛好」大於7；下屆值則是5，因為它「剛剛好」小於7。

//find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array 
int bsearchupperbound(int array, int low, int high, int target)
return mid;
}

與精確查詢不同之處在於，精確查詢分成三類：大於，小於，等於（目標數）。而界限查詢則分成了兩類：大於和不大於。

如果當前找到的數大於目標數時，它可能就是我們要找的數，所以需要保留這個索引，也因此if (array[mid] > target)時 high=mid; 而沒有減1。

//find the last element, whose value is less than target, in a sorted array 
int bsearchlowerbound(int array, int low, int high, int target)
return mid;
}

下屆尋找基本與上屆相同，需要注意的是在取中間索引時，使用了向上取整。若同之前一樣使用向下取整，那麼當low == high-1，而array[low] 又小於 target時就會形成死迴圈。因為low無法往上爬超過high。

這兩個實現都是找嚴格界限，也就是要大於或者小於。如果要找鬆散界限，也就是找到大於等於或者小於等於的值（即包含自身），只要對**稍作修改就好了：

去掉判斷陣列邊界的等號：

target >= array[high]改為 target > array[high]

在與中間值的比較中加上等號：

array[mid] > target改為array[mid] >= target

之前我們使用二分查詢法時，都是基於陣列中的元素各不相同。假如存在重複資料，而陣列依然有序，那麼我們還是可以用二分查詢法判別目標數是否存在。不過，返回的index就只能是隨機的重複資料中的某乙個。

此時，我們會希望知道有多少個目標數存在。或者說我們希望陣列的區域。

結合前面的界限查詢，我們只要找到目標數的嚴格上屆和嚴格下屆，那麼界限之間（不包括界限）的資料就是目標數的區域了。

//return type: pair//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//if target is not find, (-1,-1) will be returned
pairsearchrange(int a, int n, int target)

它的時間複雜度是兩次二分查詢所用時間的和，也就是o(log n) + o(log n)，最後還是o(log n)。

二分查詢法的o(log n)讓它成為十分高效的演算法。不過它的缺陷卻也是那麼明顯的。就在它的限定之上：

必須有序，我們很難保證我們的陣列都是有序的。當然可以在構建陣列的時候進行排序，可是又落到了第二個瓶頸上：它必須是陣列。

陣列讀取效率是o(1)，可是它的插入和刪除某個元素的效率卻是o(n)。因而導致構建有序陣列變成低效的事情。

解決這些缺陷問題更好的方法應該是使用二叉查詢樹了，最好自然是自平衡二叉查詢樹了，自能高效的（o(n log n)）構建有序元素集合，又能如同二分查詢法一樣快速（o(log n)）的搜尋目標數。

二分查詢法

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