題目：在任務排程中，常常會用到圖。其中節點對應任務，任務i到任務j的有向邊表示i是j的先期條件。這樣的圖描述了排程問題中的任務先後關係（約束）。顯然，乙個排程是可行的當且僅當該圖無環；如果排程不可行，我們需要求使其無環所需的最小約束數量。
給定乙個有向圖g=(v,e)，子集e』⊆e稱為反饋弧集合是指：將其移除後將使得g無環。
反饋弧集合（feedback arc set，簡稱fas）問題：給定有向圖g=(v,e)和預算b，求包含不超過b條邊的反饋弧集合——如果這樣的集合存在。
證明 fas屬於np
證明：拓撲排序的時間複雜度為o(e+v)，可以通過它來驗證乙個圖是否無環，即fas存在多項式時間的驗證演算法，所以fas屬於np。
通過將頂點覆蓋問題規約為fas，可以證明fas是np-完全的。給定乙個頂點覆蓋例項(g,b)，我們如下構造乙個fas例項(g』,b)：如果g=(v,e)包含n個頂點v1,…vn，則生成乙個包含2n個頂點w1,w1』,…wn,wn』和n+2|e|條邊的有向圖g』=(v』,e』)，其中的邊為：
證明如果g包含規模為b的頂點覆蓋，則g』有規模為b的反饋弧集合。
證明：根據題設中的規約，可以構造出乙個簡單的g和g』：
根據構造的g和g』，結合規約，可以得出，對於g』中的頂點wi的出度為1，唯一的出邊指向wi』；而頂點wi』的入度為1，唯一的入邊從wi出發。
假設c是g的乙個規模為b的頂點覆蓋集，對於任意頂點vi∈c，將邊(wi,wi』)新增到e』，則e』就是要求的g』的乙個規模為b的fas。因為將(wi,wi』)去掉之後，wi不再有出邊，wi』也不再有入邊，即wi的出度變為0，不可能在乙個環中，而wi』的入度也變為0，不可能在任何乙個環中，即如果g包含規模為b的頂點覆蓋，則g』有規模為b的反饋弧集合，得證。
證明如果g』包含規模為b的頂點覆蓋，則g』有規模不超過b的頂點覆蓋。
根據(b)中構造的g和g』，可以看到g中簡單的邊(v1,v2)在g』中對應4個頂點w1、w1』、w2、w2』，以及涉及的4條邊，推廣而言，g中的邊(vi,vj)在g』中對應wj、wj』、wj、wj』四個頂點，以及涉及的邊(wi,wi』)、(wj,wj』)、(wi』,wj) 、(wj』,wi)。設e』是g』的乙個規模為b的
fas，顯然，這4條邊中必定有一條邊e在集合e』中，否則就一定會形成環，而且，參考構造的g』，e必然有乙個端點是wi或wj。
現構造以下規則，若wi是e的端點，則將vi新增至c，否則將vj新增到
c，重複以上操作，那麼根據定義，c就是g的乙個規模不超過b的頂點覆蓋，得證。
演算法概論習題解答8 22
8.22 問題描述 在任務排程，常常會用到圖。其中節點應用於任務，任務i到j的有向邊表示i是j的先期條件。這樣的圖描述了排程問題中的任務先後關係 約束 顯然，乙個排程是可行的當且僅當該圖無環 如果排程不可行，我們需要使其無環所需的最小約束數量。給定乙個有向圖g v，e 子集e e稱為乙個反饋弧集，反...
《演算法概論》習題8 19
問題描述 所謂風箏圖是這樣的，其頂點數為偶數，如2n，且其中的n個頂點構成了乙個團，剩餘的n個頂點則由一條稱為尾巴的路徑連線，尾巴的某個端點與團的乙個頂點相連。給定乙個圖和目標g，風箏圖問題要求圖的乙個包含2g個頂點的風箏子圖。請證明該問題是np 完全。解答 可以將團問題歸約到 kite 問題。若要...
《演算法概論》習題8 12題解
8.12 k 生成樹問題是這樣的 輸入 無向圖g v,e 輸出 g的乙個生成樹，其中所有節點度數都不超過k 如果該樹存在。請證明對任意k 2 a k 生成樹問題是乙個搜尋問題。b k 生成樹問題是np 完全的。a 對於例項i，其任意乙個解s，遍歷s的每個結點，檢查其度數是否不超過k，這是多項式時間內...