傅利葉
原理表明：
任何連續測量的時序或
訊號，都可以表示為不同頻率的正弦波
訊號的無限疊加。而根據該
原理創立的傅利葉變換演算法利用直接測量到的原始
訊號，以累加方式來計算該
訊號中不同正弦波
訊號的頻率、振幅和相位。
岡薩雷斯版《影象處理》裡面的解釋非常形象：乙個恰當的比喻是將傅利葉變換比作乙個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。
傅利葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函式基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣, 傅利葉變換使我們能通過頻率成分來分析乙個函式。
下面的圖很好的說明了時域(或空間域關係：
圖 時域和頻域的關係
圖中的矩形方波(最前面)可以由後面幾個不同頻率的正弦波疊加而成。從側面看過去就得到這些正弦波在頻域中的表示。在頻域中乙個正弦波可以由振幅和相位來表示。(途中頻域內只顯示了不同正弦的振幅)。
1、二維離散傅利葉變換公式
影象傅利葉變換是將空間域(影象)轉換到頻域。傅利葉變換公式如下:
前面說過傅利葉本質是任何函式都可以有正弦疊加。只看上面的公式找不出與正弦波之間的關係。這裡還需要用到尤拉公式將後面的指數部分做乙個轉換就可以看到傅利葉變換與正弦的關係。尤拉公式如下:
傅利葉變換後的結果需要使用幅度譜 + 相位譜的形式表示。但在實際的影象處理過程中，僅使用幅度影象，因為幅度影象基本包含了原影象的所有幾何資訊。
2、基影象
一般傅利葉處理整列為方形陣列，則有 m=n。有公式可以看出。
3 頻域的基本性質
從公式來看，每個f(u,v)項包含了被指數項修正的f(x,y)的所有值。因此除了特殊情況，一般不可建立影象分量和其變換之間的直接聯絡，然後可以闡述頻率分量和空間特徵之間的聯絡。例如，既然頻率與變化率直接相關。變化最慢的頻率成分(u=0,v=0)對應一幅影象的平均灰度。當從原點位置移開，低頻對應影象滿變化分量，如房間的牆和地板。隨著離開原點越遠，較高的頻率開始對應影象中的變化越來越快的影象灰度級。這些是物體的邊緣區域或灰度變化較快的區域。
以原點為中心，距離原點越遠，頻率越高。
4 傅利葉變換的物理意義
在說傅利葉變換在影象中的物理意義之前，先說乙個影象頻率的概念。
影象的頻率是表徵影象中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。
如：大面積的沙漠在影象中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；
而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在影象中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率值較高。
影象可以看做是乙個定義為二維平面上的訊號，該訊號的幅值對應於畫素的灰度（對於彩色影象則是rgb三個分量），如果我們僅僅考慮影象上某一行畫素，則可以將之視為乙個定義在一維空間上訊號，這個訊號在形式上與傳統的訊號處理領域的時變訊號是相似的。不過是乙個是定義在空間域上的，而另乙個是定義在時間域上的。所以影象的頻率又稱為空間頻率，它反映了影象的畫素灰度在空間中變化的情況。例如，一面牆壁的影象，由於灰度值分布平坦，其低頻成分就較強，而高頻成分較弱；而對於西洋棋棋盤或者溝壑縱橫的衛星這類具有快速空間變化的影象來說，其高頻成分會相對較強，低頻則較弱（注意，是相對而言）。要與常規認為的時間頻率做個區分。
傅利葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是乙個能量有限的模擬訊號，則其傅利葉變換就表示f的譜。
從純粹的數學意義上看，傅利葉變換是將乙個函式轉換為一系列週期函式來處理的。
從物理效果看，傅利葉變換是將影象從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將影象從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅利葉變換的物理意義是將影象的灰度分布函式變換為影象的頻率分布函式，傅利葉逆變換是將影象的頻率分布函式變換為灰度分布函式。
傅利葉變換以前，影象（未壓縮的點陣圖）是由對在連續空間（現實空間）上的取樣得到一系列點的集合，我們習慣用乙個二維矩陣表示空間上各點，則影象可由
z=f(x,y)
來表示。由於空間是三維的，影象是二維的，因此空間中物體在另乙個維度上的關係就由梯度來表示，這樣我們可以通過觀察影象得知物體在三維空間中的對應關係。為什麼要提梯度？因為實際上對影象進行二維傅利葉變換得到頻譜圖，就是影象梯度的分布圖，當然頻譜圖上的各點與影象上各點並不存在一一對應的關係，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅利葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際上影象上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，影象中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。
一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅利葉變換後的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，影象的能量分布，如果頻譜圖中暗的點數更多，那麼實際影象是比較柔和的（因為各點與鄰域差異都不大，梯度相對較小），反之，如果頻譜圖中亮的點數多，那麼實際影象一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊畫素差異較大的。
對頻譜移頻到原點以後，可以看出影象的頻率分布是以原點為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出影象頻率分布以外，還有乙個好處，它可以分離出有週期性規律的干擾訊號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，這個集合就是干擾噪音產生的，這時可以很直觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。
5 據平移性做頻域中心化
平移性
根據尤拉公式，當x等於pi時候 有：
參考文獻:
影象傅利葉變換
傅利葉變換
離散傅利葉變換
作用 離散傅利葉變換主要是將連續的訊號轉換為離散的訊號。如在時域上連續的有時在頻域上是離散的。然而我們知道，任何的乙個函式都可以由無數個正弦函式和余弦函式相結合的形式來表示。即 如果將乙個影象進行離散傅利葉變換，就是將影象從空間域轉換到頻域上。其中f是空間域的值，f是頻域的值。轉換後的頻域值是複數。...
離散傅利葉變換
離散時間傅利葉級數 dfs 用ws進行週期延拓 連續復指數和離散復指數的區別和聯絡 當k 1時，乙個週期t後，即 n 0 127 取完後之後只旋轉了一圈。當k 2時，乙個週期t後，即 n 0 127 取完後之後只旋轉了兩圈。當k 3時，乙個週期t後，即 n 0 127 取完後之後只旋轉了三圈。dfs...
離散傅利葉變換DFT
dft是為適應計算機分析傅利葉變換規定的一種專門運算，本章是數字訊號處理課程的重點章節。3.7用dft進行頻譜分析 1.用dft對連續訊號進行譜分析 1 原理 2 頻率解析度與dft引數的選擇 頻率解析度是指所用的演算法能將訊號中兩個靠得很近的譜峰分開的能力。設是乙個帶限的連續時間訊號，最高頻率為f...