快速冪講解

2021-08-04 04:30:18 字數 1195 閱讀 2286

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快速冪這個東西比較好理解,但實現起來到不老好辦,記了幾次老是忘,今天把它系統的總結一下防止忘記。

首先,快速冪的目的就是做到快速求冪,假設我們要求a^b,按照樸素演算法就是把a連乘b次,這樣一來時間複雜度是o(b)也即是o(n)級別,快速冪能做到o(logn),快了好多好多。它的原理如下:

假設我們要求a^b,那麼其實b是可以拆成二進位制的,該二進位制數第i位的權為2^(i-1),例如當b==11時

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二進位制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我們將a¹¹轉化為算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)

,看出來快的多了吧原來算11次,現在算三次,但是這三項貌似不好求的樣子....不急,下面會有詳細解釋。

由於是二進位制,很自然地想到用位運算這個強大的工具: &  和 >>  

&運算通常用於二進位製取位操作,例如乙個數 & 1 的結果就是取二進位制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0為偶,x&1==1為奇。

>>運算比較單純,二進位制去掉最後一位,不多說了,先放**再解釋。

1

int poww(int a,intb)9

return

ans;

10 }

**很短,死記也可行,但最好還是理解一下吧,其實也很好理解,以b==11為例,b=>1011,二進位制從右向左算,但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘,以便隨時對ans做出貢獻。

其中要理解base*=base這一步,看:::base*base==base^2,下一步再乘,就是base^2*base^2==base^4,然後同理  base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指數正是 2^i 啊,再看上  面的例子,a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),這三項是不是完美解決了,,嗯,快速冪就是這樣。

順便囉嗦一句,由於指數函式是**增長的函式,所以很有可能會爆掉int的範圍,根據題意決定是用 long long啊還是unsigned int啊還是mod某個數啊自己看著辦。

還有,矩陣快速冪的求法唯一的區別就是*換成矩陣中的乘法,寫個函式代換嘛,思想一毛一樣。。

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