計算最佳逼近元的時候，為什麼要選取標準正交基？
1 根據冪基計算最佳逼近元，計算過程的穩定性不好；
2 下面的定理說明標準正交基的優勢：
定理1
設g的標準正交基為,f
∈e,則g=
∑ni=
1cig
i 為f在e中的最佳逼近當且僅當ci
=⟨f,
gi⟩
證明： g=
∑ni=
1cig
i 為f在e中的最佳逼近當且僅當f−
g⊥g
當且僅當f−
g⊥gi
,i=1
,2,⋯
,n ⟨
f−∑i
=1nc
igi,
gj⟩=
⟨f,g
i⟩−c
i=0
可以利用gram-schmidt正交化過程把一般的基轉化為標準正交基
正交多項式：
如果內積定義滿足⟨f
g,h⟩
=⟨f,
gh⟩ ,那麼從單項式函式1,
x,⋯ 出發，應用gram-schmidt正交化過程產生的結果就叫做正交多項式。
常用的內積為： ⟨f
,g⟩=
∫baf
(x)g
(x)w
(x)d
x 滿足上面的要求。
定理2
如下定義的多項式序列是正交的： pn
(x)=
(x−a
n)pn
−1(x
)−bn
pn−2
(x),
n≥2
其中p0(
x)=1
,p1(
x)=x
−a1 , an
=⟨xp
n−1(
x),p
n−1(
x)⟩⟨
pn−1
(x),
pn−1
(x)⟩
bn=⟨xpn
−1(x
),pn
−2(x
)⟩⟨p
n−2(
x),p
n−2(
x)⟩
所使用的內積滿足⟨f
g,h⟩
=⟨f,
gh⟩ 。
legendre多項式
當使用的內積為： ⟨f
,g⟩=
∫1−1
f(x)
g(x)
dx生成的正交多項式為legendre多項式。
tchebyshev多項式
當使用的內積為： ⟨f
,g⟩=
∫1−1
f(x)
g(x)
dx1−
x2‾‾
‾‾‾‾
√ 生成的正交多項式為tchebyshev多項式。
jacobian多項式
當使用的內積為： ⟨f
,g⟩=
∫1−1
f(x)
g(x)
(1−x
)α(1
+x)β
dx生成的正交多項式為jacobian多項式。
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