首先看以下程式段：
for（int i=1;i<=n;i++）
for(int j=1;j<=n;j+=i)
..... //複雜度為o(1);
求該程式段的時間複雜度。
可以看出：（1）當i=1時，需要執行n次；
（2）當i=2時，需要執行n/2次；
（3）當i=3時，需要執行n/3次；
（4）當i=n-1時，需要執行n/n-1次；
（5）當i=n時，需要執行n/n次；
每次的時間複雜度為o（1），則總共的時間複雜度為n(1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/n)。
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/n是乙個調和級數。很早就有數學家研究，比如中世紀後期的數學家oresme在2023年就證明了這個級數是發散的。
euler(尤拉)在2023年，利用newton的成果，首先獲得了這個調和級數有限多項和的值。
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據newton的冪級數有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
於是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n，就給出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加，就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......
後面那一串和都是收斂的，我們可以定義
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
euler近似地計算了r的值，約為0.5772156649。這個數字就是後來稱作的
尤拉常數。
回歸到程式本身：
則總共的時間複雜度為：
n(1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...1/n)
=n(ln(n+1) + r)
=nln(n+1)+rn
因此該程式段的時間複雜度為o（nlogn).
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