結論：對於c(n,k),若n&k == k 則c(n,k)為奇數，否則為偶數。
證明：組合數的奇偶性判定方法為:
公式p是指排列，從n個元素取r個進行排列(即排序)。 (p是舊用法，現在教材上多用a，arrangement)
公式c是指組合，從n個元素取r個，不進行排列（即不排序）。 組合數的奇偶性判定方法為: 結論：
對於c(n,k),若n&k == k 則c(n,k)為奇數，否則為偶數。 證明：
利用數學歸納法：
由c(n,k) = c(n,k-1) + c(n-1,k-1); 對應於楊輝三角： 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
………………
可以驗證前面幾層及k = 0時滿足結論，下面證明在c(n-1,k)和c(n-1,k-1) (k > 0) 滿足結論的情況下， c(n,k)滿足結論。
1).假設c(n-1,k)和c(n-1,k-1)為奇數： 則有：(n-1)&k == k; (n-1)&(k-1) == k-1;
由於k和k-1的最後一位(在這裡的位指的是二進位制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最後一位必然是1。 現假設n&k == k。
則同樣因為n-1和n的最後一位不同推出k的最後一位是1。
因為n-1的最後一位是1，則n的最後一位是0，所以n&k != k，與假設矛盾。 所以得n&k != k。
2).假設c(n-1,k)和c(n-1,k-1)為偶數： 則有：(n-1)&k != k; (n-1)&(k-1) != k-1; 現假設n&k == k.
則對於k最後一位為1的情況：
此時n最後一位也為1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，與假設矛盾。 而對於k最後一位為0的情況：
則k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意個0。 相應的，n對應的部分為： 1*; *代表0或1。
而若n對應的*中只要有乙個為1，則(n-1)&k == k成立，所以n對應部分也應該是10。
則相應的，k-1和n-1的末尾部分均為01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，與假設矛盾。
所以得n&k != k。
由1)和2)得出當c(n,k)是偶數時，n&k != k。
3).假設c(n-1,k)為奇數而c(n-1,k-1)為偶數： 則有：(n-1)&k == k; (n-1)&(k-1) != k-1; 顯然，k的最後一位只能是0，否則由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。 所以k的末尾必有一部分形如：10; 相應的，n-1的對應部分為： 1*; 相應的，k-1的對應部分為： 01;
則若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 則要求n-1對應的*中至少有乙個是0. 所以n的對應部分也就為 ： 1*; (不會因為進製變1為0) 所以 n&k = k。
4).假設c(n-1,k)為偶數而c(n-1,k-1)為奇數： 則有：(n-1)&k != k; (n-1)&(k-1) == k-1; 分兩種情況：
當k-1的最後一位為0時:
則k-1的末尾必有一部分形如: 10; 相應的，k的對應部分為 : 11;
相應的，n-1的對應部分為 : 10; (若為11,則(n-1)&k == k) 相應的，n的對應部分為 : 11; 所以n&k = k。
當k-1的最後一位為1時:
則k-1的末尾必有一部分形如: 01; (前面的0可以是附加上去的) 相應的，k的對應部分為 : 10;
相應的，n-1的對應部分為 : 01; (若為11，則(n-1)&k == k) 相應的，n的對應部分為 : 10; 所以n&k = k。
由3),4)得出當c(n,k)為奇數時，n&k = k。
綜上，結論得證!
n&k是n（按位與）k的意思，比如說n=9,k=3,那麼轉化成二進位制n=1001,k=0011,進行運算（都是1則為1，否則為0）後得到1，如果它和k相等，組合數則為奇數，否則為偶數，至於其中的道理是：根據二進位制的運算法則，從後向前數，有幾個0（不能有間斷），就有幾個偶數因子（這裡就說是以2為因子吧），按位與的功能就是消0，當然根據組合公式，分子上的偶數因子不可能比分母上的少，但是如果相等的話，那麼這個數就是乙個奇數了，按位與的功能是0和1在一塊就消1，那麼如果想保留原有的k值，n轉化成二進位制後就要有許多個1（通俗一點），這樣的話，他的偶數因子也會減少，經過證明，可以得到當n&k==k時，n!和k!(n-k)!的偶數因子一樣多，就可以把它們消去，從而得到乙個奇數。
文件出處：
組合數奇偶性的判斷（附證明）
learning 方法一 計算一下，然後看它的奇偶性 但是這個時間以及資料範圍上都不允許 方法二對於給定c n,m 檢查n！中2因子的個數與m！和 n m 中2因子個數和的關係，假設n 中2因子個數為a，m 中2因子個數為b，n m 中2因子個數為c，則顯然有a b c 並且當a b c時，一定為奇...
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