程式設計之美陣列分割問題

一，問題：

1. 有乙個無序、元素個數為2n的正整數陣列，要求：如何能把這個陣列分割為兩個子陣列，子陣列的元素個數不限，並使兩個子陣列之和最接近。

2. 有乙個無序、元素個數為2n的正整數陣列，要求：如何能把這個陣列分割為元素個數為n的兩個陣列，並使兩個子陣列之和最接近。

二，分析：

假設陣列a[1..2n]所有元素的和是sum。模仿動態規劃解0-1揹包問題的策略，令s(k, i)表示前k個元素中任意i個元素的和的集合。顯然：

s(k, 1) =

s(k, k) =

s(k, i) = s(k-1, i) u

按照這個遞推公式來計算，最後找出集合s(2n, n)中與sum最接近的那個和，這便是答案。這個演算法的時間複雜度是o(2^n).

因為這個過程中只關注和不大於sum/2的那個子陣列的和。所以集合中重複的和以及大於sum/2的和都是沒有意義的。把這些沒有意義的和剔除掉，剩下的有意義的和的個數最多就是sum/2個。所以，我們不需要記錄s(2n,n)中都有哪些和，只需要從sum/2到1遍歷一次，逐個詢問這個值是不是在 s(2n,n)中出現，第乙個出現的值就是答案。我們的程式不需要按照上述遞推公式計算每個集合，只需要為每個集合設乙個標誌陣列，標記sum/2到1這個區間中的哪些值可以被計算出來。

二，解法：

由於對兩個子陣列和最接近的判斷不太直觀，我們需要對題目進行適當轉化。我們知道當乙個子陣列之和最接近原陣列之和sum的一半時，兩個子陣列之和是最接近的。所以轉化後的題目是：從2n個數中選出任意個數，其和盡量接近於給定值sum/2。

這個問題儲存的是從前k個數中選取任意個數，且其和為s的取法是否存在dp[k][s]。之所以將選出的數之和放在下標中，而不是作為dp[k]的值，是因為那種做法不滿足動態規劃的前提——最優化原理，假設我們找到最優解有k個數p1p2...pk（選出的這k個數之和是最接近sum/2的），但最優解的前k-1個數p1p2...pk-1之和可能並不是最接近sum/2的，也就是說可能在訪問到pk之前有另一組數q1q2....qk-1其和相比p1p2...pk-1之和會更接近sum/2，即最優解的子問題並不是最優的，所以不滿足最優化原理。因此我們需要將dp[k]的值作為下標儲存起來，將這個最優問題轉化為判定問題，用帶動態規劃的思想的遞推法來解。

外階段：在前k1個數中進行選擇，k1=1,2...2*n。

內階段：從這k1個數中任意選出k2個數，k2=1,2...k1。

狀態：這k2個數的和為s，s=1,2...sum/2。

決策：決定這k2個數的和有兩種決策，乙個是這k2個數中包含第k1個數，另乙個是不包含第k1個數。

dp[k][s]表示從前k個數中取任意個數，且這些數之和為s的取法是否存在。

[html]view plain

copy

#include

using namespace std;

#define maxn 101

#define maxsum 100000

int a[maxn];

bool dp[maxn][maxsum];

// dp[k][s]表示從前k個數中去任意個數，且這些數之和為s的取法是否存在

int main()

} // 之前的dp[k][s]表示從前k個數中取任意k個數，經過下面的步驟後

// 即表示從前k個數中取任意個數

for (k1=2; k1<=2*n; k1++)

for (s=1; s<=sum/2; s++)

if (dp[k1-1][s])

dp[k1][s]=true;

// 確定最接近的給定值sum/2的和

for (s=sum/2; s>=1 && !dp[2*n][s]; s--)

; printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);

}

2. 解法：

但本題還增加了乙個限制條件，即選出的物體數必須為n，這個條件限制了內階段k2的取值範圍，並且dp[k][s]的含義也發生變化。這裡的dp[k][s]表示從前k個數中取任意不超過n的k個數，且這些數之和為s的取法是否存在

[sql]view plain

copy

#include

using namespace std;

#define maxn 101

#define maxsum 100000

int a[maxn];

bool dp[maxn][maxsum];

// 題目可轉換為從2n個數中選出n個數，其和盡量接近於給定值sum/2

int main()

注意：如果陣列中有負數的話，上面的揹包策略就不能使用了（因為第三重迴圈中的s是作為陣列的下標的，不能出現負數的），需要將陣列中的所有陣列都加上最小的那個負數的絕對值，將陣列中的元素全部都增加一定的範圍，全部轉化為正數，然後再使用上面的揹包策略就可以解決了。

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