無窮小微積分的轉移公理
大家知道，無窮小微積分是公理化構成的，其中有一條重要公理叫「轉移公理」（transferaxiom）。什麼是轉移公理？有什麼重要性？
2013
年3月3日，老翁發表短文，可以一閱如下：
袁萌 12月1日
關於無窮小微積分的轉移（transfer）公理(
發表於：
2023年3
月3日)
為嚴格地定義導數與微分，我們把無窮小（一種超實數）引進微積分就算萬事大吉了？非也。為什麼？
我們提出乙個問題：在引入超實數
*r之後，微積分學變成了什麼樣子？也就是說，傳統微積分學的原有概念與定理是不是還適用（或成立）？我們能否做到這樣一件事情：乙個傳統微積分定理，當實數系
r擴充到超實數
*r之後，仍然能夠成立？甚至更準確地說，該定理在
r中成立的充分必要條件是其在
*r中也成立？如果我們能夠做到這一點，那麼，這種做法有什麼好處（或意義）呢？歸根到底一句話：超實數
*r有沒有必要引入到微積分呢？在r
擴充到*r
之後，我們假定整個微積分學的理論體系不變。那麼，我們要問：同乙個微積分學定理，在超實數系
*r裡面的證明是不是要比在傳統實數系
r在《基礎微積分》電子版到第一章第
1.5節第
28頁，為達此目的，
j.keisler
引進兩條模型論（
model theory
）公理（
axioms
）：一是延伸公理（
extensionaxiom
，簡記為
ea），二是轉移公理（
transfer axiom
，簡記為
ta）。
ea是說，任何實函式
f都存在乙個相應的超實函式
*f與其對應，
*f叫做函式f的
「自然延伸
」(naturalextension)
；而ta
是說，任何陳述句（
statement）在r
中成立，那麼，該陳述句在
*r中也必定成立。為準確理解轉移公理（
ta），我們要問，什麼是陳述句？這是問題的關鍵。
在傳統微積分學中，大家熟悉解析表示式的概念。一般而言，將兩個表示式用等號或不等號連線起來就成為乙個陳述句，例如：
x+y=y+x
，xy=yx
，sin(x)< x(
當x>0)
，等等。由此，我們不難想象，傳統微積分學的」理論
「是怎樣轉移到超實數系
*r上了。但是，我們要注意的是，在
*r中，陳述句中的各個運算子都需要在其左上角加上乙個星號」*「
，各個函式的左上角也要加上乙個星號」*「
，意義發生了相應的變化。我們約定，在轉移到超實數系
*r之後，有意省去所有的」星號
「，希望不會發生」誤會
「，做到
」心中有數
「不轉向。
微積分學的乙個基本問題就是求函式
f的變化率（平均值），也就是比值：
∆y/∆x
，這裡f(x) = y。在r
中，我們只能說，當∆x
無限趨近於零（但不等於零）時，變化率
∆y/∆x
的極限（
limit
）。但是，什麼叫
」無限趨近於零
「，就很難說得清楚，比較費解了。如果我們轉移到
*r中，讓∆x
變為無窮小（但是不等於零），事情就好說了。也就是說，當
x無限趨近於某個實數
a時，存在乙個瞬間的階段，在這個瞬間，差值∆x
是無窮小，這比較符合我們的直覺（也符合哥西的導數定義）。這兩個無窮小的比值所無限接近的那個實數就是函式
f在這裡的瞬間
」變化率
「（所謂
「匯出數
」）。無窮小就是那種
」足夠的小以至於可以略去不計
「的超實數。不過，這種說法只有在超實數系
*r架構中才有意義。實際上，微積分學有兩套，一套是傳統的微積分，一套是無窮小微積分，兩者
」形影不離
「，只不過後者更加符合我們的直覺與思維習慣而已。
（全文完）
現代無窮小挑戰傳統微積分
上世紀九十年代末期，美國計算機數學家 k.d.stroyan 指出 函式導數的傳統 逐點 定義方式會導致一種數學 病態 違反了人們的直覺觀念。這一發現，立即引起數學家的警覺。為什麼？給出函式 f x x x 2 sin pi x 而且，我們規定，f0 0 容易證明，該函式在 0點處的導數等於 1 正...
無窮小微積分與考研實踐
五年前，2012年12月29日，老翁發表一篇博文，題為 無窮小微積分與考研 效果甚佳。五年後的今天，無窮小微積分闊步網際網路，極限論退縮不前。2017年考研學子238萬，其中40 是工科考生。今天開考，重新發表此文，供讀者參考。袁萌 12月233日 該文全文如下 昨日，在新東方 上找來 2011年考...
快訊 無窮小微積分下放中學有望！
快訊 無窮小微積分下放中學有望！2017年9 月28日，報道，重慶南川區與教育部共建 基礎教育課程改革示範區 近日，我準備約見教育部基礎教育司 有關人員，討論有關事項。袁萌9 月29日該文全文如下 近日，教育部基礎教育課程教材發展中心 以下簡稱 課程教材中心 與重慶市南川區簽約 合作共建 基礎教育課...