複數的物理意義

最近做相關濾波追蹤的時候，遇到了瓶頸，所以想從頭到尾理一理基礎知識。

對於複數，最直觀的理解，就是旋轉！乘以虛數 i , 就是旋轉。虛數不是數，而是旋轉量！

我們知道， i 的平方是 -1, 那麼2 * i * i = -2，相當於在數軸上將 2 旋轉了 180度。也就是說，旋轉了兩個 i 是180度。那麼，旋轉乙個 i 呢？顯然就是 90度了。也就是說，通過旋轉，我們獲得了乙個垂直的虛數軸。實數軸和虛數軸共同構成了乙個複數的平面，也稱為復平面。

其中，螺旋線怎麼形成的呢？看下圖：

現在，就要引出尤拉公式了：

其中，當 x = pi 時，

尤拉公司的關鍵作用，就是將正弦波統一成了簡單的指數形式。我們再來看上面的圖，尤拉公式所描繪的，是乙個隨時間變化，在復平面上做圓周運動的點。隨著時間的改變，在時間軸上就變成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線左側的投影，就是基礎的余弦函式。而右側的投影，就是乙個正弦函式。

講的更透徹。

既然 i 表示旋轉量，我們就可以用 i ，表示任何實數的旋轉狀態。

將實數軸看作橫軸，虛數軸看作縱軸，就構成了乙個二維平面。旋轉到某乙個角度的任何正實數，必然唯一對應這個平面中的某個點。

只要確定橫座標和縱座標，比如( 1 , i )，就可以確定某個實數的旋轉量（45度）。

數學家用一種特殊的表示方法，表示這個二維座標：用 + 號把橫座標和縱座標連線起來。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。

這種表示方法就叫做複數（complex number），其中 1 稱為實數部，i 稱為虛數部。

為什麼要把二維座標表示成這樣呢，下一節告訴你原因。

三、虛數的作用：加法

虛數的引入，大大方便了涉及到旋轉的計算。

比如，物理學需要計算"力的合成"。假定乙個力是 3 + i ，另乙個力是 1 + 3i ，請問它們的合成力是多少？

根據"平行四邊形法則"，你馬上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

這就是虛數加法的物理意義。

四、虛數的作用：乘法

如果涉及到旋轉角度的改變，處理起來更方便。

比如，一條船的航向是 3 + 4i 。

如果該船的航向，逆時針增加45度，請問新航向是多少？

5度的航向就是 1 + i 。計算新航向，只要把這兩個航向 3 + 4i 與 1 + i 相乘就可以了（原因在下一節解釋）：

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，該船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆時針增加90度，就更簡單了。因為90度的航向就是 i ，所以新航向等於：

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

這就是虛數乘法的物理意義：改變旋轉角度。

五、虛數乘法的數學證明

為什麼乙個複數改變旋轉角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的數學證明，實際上很簡單。

任何複數 a + bi，都可以改寫成旋轉半徑 r 與橫軸夾角 θ 的形式。

假定現有兩個複數 a + bi 和 c + di，可以將它們改寫如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

這兩個複數相乘，( a + bi )( c + di ) 就相當於

r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展開後面的乘式，得到

cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根據三角函式公式，上面的式子就等於

cos(α+β) + isin(α+β)

所以，( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

就到這裡，更深入的請參考高等數學及

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