複數的物理意義

複數最直觀的理解就是旋轉！

4*i*i = -4

就是「4」在數軸上旋轉了180度。

那麼4*i就是旋轉了90度。

另外，e^t是什麼樣呢？

但當你在指數上加上i之後呢？

變成了乙個螺旋線。是不是和電磁場很像？（想拿尤拉公式去跟女生炫學術的男生注意了：她們，真的，不care）

當然，更重要的意義在於複數運算保留了二維資訊。

假如我讓你計算3+5，雖然你可以輕鬆的計算出8，但是如果讓你分解8你會有無數種分解的方法，3和5原始在各自維度上的資訊被覆蓋了。

但是計算3+5i的話，你依然可以分解出實部和虛部，就像上圖那樣。

基於以上兩個理由，用複數來描述電場與磁場簡直完美到爆棚！

我們即可以讓電場強度與複數磁場強度相加而不損失各自的資訊，又滿足了電場與磁場90度垂直的要求。另外，一旦我們需要讓任何乙個場旋轉90度，只要乘乙個「i」就可以了

受 @physixfan

答案的提醒，再補充一點。

正弦波在頻域可以看作是自然數中的「1」，可以構成其他數字的基礎元素。當你需要5的時候，你可以看成是1*5（基礎元素的五倍）也看以看成2+3（乙個基礎元素2倍與基礎元素3倍的和）。這些用基礎元素構成新元素的運算是線性運算。

但是現在你如何用線性運算吧2sin（wt）變換成4sin（wt+pi/6）呢？

利用尤拉公式，我們可以將任何乙個正弦波看作其（螺旋線）在實軸上的投影

。假如兩個不同的正弦波，可以用數學表達為：

好了，現在如果我想用第乙個正弦波利用線性變換為第二個，我們就只需要將a乘對應的係數使其放大至b（本例為乘2），然後將θ1加上一定的角度使其變為θ2（本例為加30度），然後將得到的第二個虛數重新投影回實軸，就完成了在實數中完全無法做到的變換。

這種利用復指數來計算正弦波的方法也對電磁波極其適用，因為電磁波都是正弦波，當我們需要乙個電磁波在時間上延遲/提前，或是在空間上前移/後移，只需要乘乙個復指數就可以完成對相位的調整了。