泰勒展開式的理解

泰勒公式是將乙個在x=x0處，且具有n階導數的函式p(x)利用關於(x-x0)的n次多項式來逼近函式f(x)【我們想要近似的函式】的方法。泰勒展開式在x=x0點展開形式為：【即f(x)只是用來近似t(x)在x0點附近的函式值】

其本質就是為了在某個點附近，用多項式函式來近似其他函式。之所以要使用多項式來近似是因為多項式具有好計算，易求導，且好積分等一系列的優良性質。

下面的是近似多項式p(x)對f(x)的多項式近似公式，個人認為這樣改一下泰勒展開式好理解一點。

泰勒公式可以用這些導數值做係數構建乙個多項式來近似函式在這一點(x=x0)的鄰域中的值。也就是說泰勒公式其實是一種區域性近似的方法，只近似x=x0那一點的函式性。而不是在任何地方都適用x=x0的這種確定了的近似多項式。

通過講述乙個例子來加深理解。

那麼如何近似cosx【要被近似的函式】這個函式呢？假如我們選用f(x) = c0+c1*x+c2*x^2這樣的形式在x0=0處近似cosx。那麼因為ci是引數，如果不考慮能否近似cosx的情況下，f(x)就有無限多種可能。那麼ci取何值時，這樣的近似的效果是最好的呢？如下圖：

對於求ci這些引數，我們應該明確的是，我們是在用f(x)在x=0處來近似cosx的，所以，最起碼的當cos0 =1 ，f(0)也應該為0，即c0=1。那下乙個近似的依據又是什麼呢？其實我們可以看出cosx在x=0的斜率（導數）也是一種體現cosx函式區域性特性的特徵，所以讓f(x)的一階導也同cosx的一樣，即（cosx）』 = -sinx ，x=0時(cosx)』=0；那麼f(x)』=c1+2*c2*x,f(0)』=c1=0;此時我們會發現引數空間已經縮小了很多，但是依然有太多不確定性。其實還可以利用近似的2者在凹凸性上也應是一致的來進一步縮小引數空間，(cosx)」 = -cosx；x=0時(cosx)」=-1;f(x)」 = 2*c2=-1，c2=-0.5;即最終的f(x) = 1-0.5*x^2。

最終我們通過限制在x=0點處的函式值，斜率，凹凸性都一致求出了近似多項式函式f(x)。

其實在某點的泰勒展開，就是讓兩者的函式在該處的函式值相等，一階導相等，二階導相等，…n階導相等。因為你要近似，當然是越接近越好，所有的性質都相等最好。如此例項中，c0負責讓兩者的函式值相等，c1負責讓兩者的一階導一致，c2負責讓兩者的二階導相等。

假如我們選用在0附近的點來驗證上面得到的式子，我們會發現值相當接近。但是如果我們選擇遠離0點的x值，就會發現f(x)的值同cosx相差就很大。這就是重點中提到的，泰勒實質是為了近似x=x0點目標函式的函式情況。

如[1] cos(0.1) =0.9950042,f(0.1) =0.995;

[2] cos(2*pi) = 1 ,f(2*pi) = 1-2*pi^2=-18.7192

在近似多項式f(x)中，第n項的係數並不是高階導數的本身。如(x^3)」』=3!*x,而不是f(x)」』/3!。

如果你想近似的是x0=pi點附近的那麼泰勒展開式就是

泰勒展開式的理解

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泰勒展開式的推導

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