ACM訓練日記 1月4日

新的一年的第一篇半周總結。昨天剛結束了常微分考試，考的我拔涼拔涼的，常微分老師對我們這一級真的是關照，相比15級的常微分期末題，難度提公升好多。。qaq，還是好好準備物理，英語吧。

雖然這半周考試有點緊張，但還是有有點收穫的，其實看了一些部落格，關於概率的主要知識點主要就是求期望和概率dp，其他還有結合組合數學的。整理一下水的幾道相關題吧。

lightoj 1038 race to 1 again

題意：給出乙個數n,我們可以選擇 1－n中可以被n整除的數字，然後用n出得到乙個新的數字n1；然後在找所有n１的因子，用n１除，直到得到１；問除的次數的期望值；

一道比較明顯的概率dp，n一定與所有因子期望有關，設n=(p1^a1)...(pn^kn)。dp[n]=((dp[1]+1)/k(dp[p1]+1)/k)+....+(dp[pk]+1)/k+(dp[n]+1)/k

，（k是因子個數，包括本身與1），整理下dp[n]=(dp[1]+dp[p1]+...dp[pk]+k)/k。然後迴圈預處理就可以了，注意時間限制，要做乙個sqrt()的處理。

lightoj 1274 beating the dataset

題意：給出n表示有n個單詞（單詞只有兩個yes與no），給出s表示有s個字母（yes又3個字母，no有2個字母），下面用1表示yes，用0表示no，問給出n和s，求所有01串將末尾去掉，頭上補上1形成的新串與原來的串有多少個不一樣，求所有組合的平均值。

這個題竟然有兩種解法，可以分別用概率dp和組合數學做。

1，組合數學方法

來自這位大佬的證明

設1有x個，0有y個，那麼解二元方程組，x=s-2*n，y=3*n-s。

那麼最高位的時候只有為0的才會不一樣: c(x,x+y-1)（補充：第乙個位置放0，剩下x+y-1個放x個1種情況）

其他位置只要跟前面乙個位置不一樣就可以了，那麼就是說當前和前面乙個位置乙個0乙個1 ，共c(x-1 , x+y-2)，因為1，0可以交換所以要乘2（補充：首端放1，剩下x+y-1個位置相當於用x+y-2個位置放n-1個1，然後用乙個0進行插空，以此形成變化，所以是(x+y-1)*c(x-1,x+y-2)）。

平均值就是(2*(x+y-1)*c(x-1,x+y-2)+c(x,x+y-1)) / c(x,x+y)

(2*x*c(x,x+y-1)+c(x,x+y-1)) / c(x,x+y)

=(2*x+1)*c(x,x+y-1) /(c(x,x+y-1)+c(x-1,x+y-1))

=(2*x+1)*c(x,x+y-1) /((1+x/y)*c(x,x+y-1))

=(2*x*y+y)/(x+y)這就是最終公式了。

2，概率dp 來自這位大佬的講解

題解：期望dp，逆推。dp[i][j][k]表示當前狀態為第i行，已經輸出了j個yes，這一行要輸出yes(0)/no(1)

因此可以得出，①如果第i要輸出yes，那麼i+1行如果輸出no，則i的期望值為i+1的期望值加上+1再乘以輸出no的概率；i+1行如果輸出yes，則i的期望值為i+1的期望值乘以輸出yes的概率。②如果第i行要輸出no，做法和①相同

遞推關係式為

dp[i][j][0]=dp[i+1][j+1][0]*p1+(dp[i+1][j][1]+1)*p2

dp[i][j][1]=(dp[i+1][j+1][0]+1*p1)*p1+dp[i+1][j][1]*p2

lightoj - 1079 just another robbery

題意：搶銀行，現在給出乙個概率p,和銀行的個數n，接下去給出每個銀行可以搶到的錢,還有搶劫這個銀行被抓的概率，問在被抓的概率小於等於p的情況下,最多搶到多少錢。

這其實是一道做過的題，其實就是01揹包，dp[j] 代表搶劫到 j 元錢,逃跑的概率;

那麼dp[j] = max( ( dp[j - m[i]] ) * p[i])。

p[i]=1-p[i];

memset(dp,0,sizeof(dp));

dp[0]=1;

for(i=0;i=m[i];j--)}

先整理這些吧，新年快樂！

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