最短路大彙總

鬆弛操作：當dis[i] > dis[j] + g[j][i]時 dis[i] = dis[j] + g[j][i]

dijkstra

單源最短路 o(n^2)

本質是貪心不能處理負邊

分成兩個集合用vis標記乙個是已經找到最短路的乙個是沒有找到最短路的

從已經找到最短路裡的點出發，進行鬆弛操作找到其中最小的加入最短路的集合中再從這個點接下去更新，做n-1次

所有的距離初始化為inf

#includeconst int n=100;  
const int inf=100000; //inf假定為無窮大 
int p[n][n],d[n]; //p表示各節點間的距離，不存在路徑即為無窮大；d表示從出發節點到各節點的最短路徑長度 
void dijkstra(int sec,int n) //sec為出發節點，n為圖中的節點數 
; //用於標記是否已作為過中途節點，0表示沒有，1表示有 
for(i=0;imin+p[min_num][j]) 
} } 
} int main() 
} }

spfa

演算法思想：我們用陣列d記錄每個結點的最短路徑估計值，用鄰接表來儲存圖g。我們採取的方法是動態逼近法：設立乙個先進先出的佇列用來儲存待優化的結點，優化時每次取出隊首結點u，並且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行鬆弛操作，如果v點的最短路徑估計值有所調整，且v點不在當前的佇列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從佇列中取出結點來進行鬆弛操作，直至佇列空為止

期望的時間複雜度o(ke)，其中k為所有頂點進隊的平均次數，可以證明k一般小於等於2。

如果某個點進入佇列的次數超過n次則存在負環（spfa無法處理帶負環的圖）

void spfa(int s)
dis[s] = 0;
vis[s] = true;
queueque;
que.push(s);
int i, v;
while(!que.empty())}}
}}

spfa演算法有兩個優化演算法 slf 和 lll：

slf：small label first 策略，設要加入的節點是j，隊首元素為i，若dist(j)否則插入隊尾。

lll：large label last 策略，設隊首元素為i，佇列中所有dist值的平均值為x，若dist(i)>x則將i插入

到隊尾，查詢下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，則將i出對進行鬆弛操作。

可用來解決查分約束問題：將不等式轉化為最短路問題【poj3159 candies】

floyd

任意兩點最短路 o(n^3) 可處理負邊

對於稀疏的圖，採用

於茂密的圖，可以使用

floyd

演算法。對於稀疏的圖，採用n次dijkstra比較出色，對於茂密的圖，可以使用floyd演算法。

i到j的最短距離不外乎存在經過i與j之間的k和不經過k兩種可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的數目)，在檢查d(ij)與d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)與d(kj)分別是目前為止所知道的i到k與k到j的最短距離，因此d(ik)+d(kj)就是i到j經過k的最短距離。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示從i出發經過k再到j的距離要比原來的i到j距離短，自然把i到j的d(ij)重寫為d(ik)+d(kj)，每當乙個k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距離。重複這一過程，最後當查完所有的k時，d(ij)裡面存放的就是i到j之間的最短距離了。

for(int k=0; k

for(int i=0; i

for(int j=0; j

輸出路徑：

p(ij)的值如果為p，就表示i到j的最短行經為i->...->p->j，也就是說p是i到j的最短行徑中的j之前的最後乙個城市

一旦發現d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(kj)存入p(ij)

n次tra

，對於茂密的圖，可以使用

floyd

演算法。小技巧：

稀疏圖使用鄰接表儲存

最短路大彙總

最短路演算法彙總

最短路最短路徑問題

最短路徑演算法最短路

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