我們經常使用傅利葉變換來計算數碼訊號的頻譜，進而分析數碼訊號，離散時間傅利葉變換的公式為： x(
ejw)
=∑n=
−∞n=
+∞x[
n]e−
jwn x(e
jw)=
∑n=−
∞n=+
∞x[n
]e−j
wn可是自己動手實現一遍才是最好的學習。
在數字分析裡面，傅利葉變換預設等時間間隔取樣，不需要時間序列，只需要訊號陣列即可分析。
分析過程如下：
1. 對於含有 n 個樣本值的數碼訊號序列，根據奈奎斯特取樣定律，包含的週期數最大為n/2,週期數為 0 代表直流分量。所以，當週期數表示為離散的0,1,2,3…n/2，總的數目為n/2+1個
2. 傅利葉變換之後的結果為複數， 下標為k的複數a+b*j表示時域訊號中週期為n/k個取樣值的正弦波和余弦波的成分的多少， 其中a表示cos波形的成分，b表示sin波形的成分
3. 首先產生乙個長度為n,一倍週期的e−
jwn e−j
wn（即為cos
(wn)
−jsi
n(wn
) cos(
wn)−
jsin
(wn)
）波樣本序列.
1. 將數碼訊號序列中的每乙個樣本與1倍週期的樣本波形序列相乘，得到n個乘積，將n個乘積相加，放入f[1]中。
1. 再產生乙個長度為n,兩倍週期的e−
jwn e−j
wn（即為cos
(wn)
−jsi
n(wn
) cos(
wn)−
jsin
(wn)
）波樣本序列,再將數碼訊號序列中的每乙個樣本與2倍週期的樣本波形序列相乘，得到n個乘積，將n個乘積相加，放入f[2]中。依次重複。
1. 對於0倍週期，即直流分量來說，可以認為產生的是0倍週期的樣本波形，重複操作，放入f[0]即可。
使用方法：
從以上過程得到數字序列的傅利葉變換之後，如果想要得到真正頻譜，還需要做處理：
1. 計算出的每乙個頻率下的幅值需要除以時間序列的長度，類似求平均的過程
2. 每乙個頻率下的幅值是乙個複數，需要對它求模，而且因為在負頻率處也有值，所以需要對於實訊號需要乘2
3. 頻率的序列為0到取樣率的一半，長度為n/2+1
完整程式：
# 離散時間傅利葉變換的python實現
import numpy as np
import math
import pylab as pl
import scipy.signal as signal
import matplotlib.pyplot as plt
sampling_rate=1000
t1=np.arange(0, 10.0, 1.0/sampling_rate)
x1 =np.sin(15*np.pi*t1)
# 傅利葉變換
此處實現的是傳統的傅利葉變換，這種方法實際已經不用了，現在使用快速傅利葉變換，其實兩種是等價的，但是快速傅利葉變換時間複雜度要小很多。
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