關於各種平面分割問題

2021-08-17 23:07:47 字數 2541 閱讀 3965

第n條直線與前面n-1條直線均相交,而且交點不重疊。

如下圖所示,第四條直線滿足的條件是與前面3條直線相交而且交點不重疊。

令第n條直線分割的平面數是f(n),則f(1)=2

我們再來考慮第n條直線,第n條直線與n-1條直線相交,交點不重疊,那麼第n條直線被分成了n段。如上面的圖可以看出此規律。這n段線段或者射線參與了平面的分割任務,而且他們分別位於n-1條直線分割出來的不同的平面區域內。所以第n條直線加入之後,多出來的平面數量是n。

故有 f(n)=f(n-1)+n.

遞迴式求出來了,可知f(n)=f(1)+2+3+...+n=1+1+2+3+...+n=

下面來考慮n個平面分空間的問題。

n個平面分空間的問題的充要遞迴條件是:

第n個平面必須與前面n-1個平面都相交,而且這n-1個平面產生的交線在第n個平面上滿足前面的直線分平面中的條件

如圖所示:

可以想象,黃色平面被這些交線分割成f(3)個平面區域,這f(3)個平面區域均參與了空間分割任務,把空間乙份為2,所以相對於3個平面的情況來說,增加了f(3)個空間區域。

令g(n)為n個平面分空間的空間區域數量,則g(1)=2

第n個平面被n-1條交線分割成f(n-1)個平面區域,而這f(n-1)個平面區域均位於不同的空間區域並參與了空間分割任務,所以增加了f(n-1)個空間區域

故有g(n)=g(n-1)+f(n-1)

可求g(n)=g(n-1)+f(n-1)=g(n-2)+f(n-2)+f(n-1)=...=g(1)+f(1)+...+f(n-1)=2+

故g(n)=

題目大致如:n條直線,最多可以把平面分為多少個區域。

析:可能你以前就見過這題目,這充其量是一道初中的思考題。當有n-1條直線時,平面最多被分成了f(n-1)個區域。則第n條直線要是切成的區域數最多,就必須與每條直線相交且不能有同一交點。 這樣就會得到n-1個交點。這些交點將第n條直線分為2條射線和n-2條線斷。而每條射線和線斷將以有的區域一分為二。這樣就多出了2+(n-2)個區域。

故:f(n)=f(n-1)+n

=f(n-2)+(n-1)+n

……=f(1)+1+2+……+n

=n(n+1)/2+1

根據直線分平面可知,由交點決定了射線和線段的條數,進而決定了新增的區域數。當n-1條折線時,區域數為f(n-1)。為了使增加的區域最多,則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊,即2*(n-1)條線段相交。那麼新增的線段數為4*(n-1),射線數為2。但要注意的是,折線本身相鄰的兩線段只能增加乙個區域。

故:f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1

=f(n-1)+4(n-1)+1

=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2

……=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)   

=2n^2-n+1

解析:當n-1個三角形時,區域面積數為 f(n-1) 。

要區域數最多,那麼第n個三角形就必須與前n-1個三角形相交。

則第n個三角形的一條邊就被分割成 2*(n-1)-1條線段與兩個半條的線段 ,

即相當於2*(n-1)條線段。則第 n 個三角形被分割成 3*2*(n-1)條線段。

則增加了 6*(n-1)個面。

故:f(n)=6*(n-1)+f(n-1)

f(n-1)=6*(n-2)+f(n-2)

........

f(2)=6*1+f(1)

因為,f(1)=2

所以,f(n)=3*n*(n-1)+2

題目大致如設有n條封閉曲線畫在平面上,而任何兩條封閉曲線恰好相交於兩點,且任何三條封閉曲線不相交於同一點,問這些封閉曲線把平面分割成的區域個數。

析:當n-1個圓時,區域數為f(n-1).那麼第n個圓就必須與前n-1個圓相交,則第n個圓被分為2(n-1)段線段,增加了2(n-1)個區域。

故: f(n)=f(n-1)+2(n-1)     

=f(1)+2+4+……+2(n-1)

=n^2-n+2

由二維的分割問題可知,平面分割與線之間的交點有關,即交點決定射線和線段的條數,從而決定新增的區域數。試想在三維中則是否與平面的交線有關呢?當有n-1個平面時,分割的空間數為f(n-1)。要有最多的空間數,則第n個平面需與前n-1個平面相交,且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g(n-1)個區域。(g(n)為(1)中的直線分平面的個數 )此平面將原有的空間一分為二,則最多增加g(n-1)個空間。

故:f=f(n-1)+g(n-1)     ps:g(n)=n(n+1)/2+1

=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)

……=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)

=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+(n-1)

=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1

=(n^3+5n)/6+1

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