任何物理理論都是在對這個世界建模，那麼為何我們總用微分方程來刻畫這個世界呢？
1、什麼時候可以用微分方程來刻畫世界？
歸根結底，現實世界是量子的(離散的、隨機的)，而非經典的(連續的、確定性的)。但我們在刻畫許多問題時，卻總是用確定、連續的微分方程來描述它，雖然這已牽扯了許多高維非線性系統，足夠複雜難解，但其實只是一種經典極限下的近似。
所謂平均場近似，就是把乙個複雜的多體系統的演化，依據處於其中的局域的研究物件所接收的綜合資訊來表徵的近似手段。它相當於把整個環境的作用取了積分，作用到區域性的乙個物件上。這一整合過程必然會平均掉一些區域性的漲落，因而損失了部分資訊，但使問題變得更簡化，也即降低了所研究問題的維度。
一般而言，所考慮的系統粒子數越大，環境與系統的相互作用越弱，環境變化越緩慢，平均場近似就越好，採用微分方程來刻畫系統的動力學就越不失真。
而若針對的是乙個粒子數比較少、漲落比較大的系統，比如生命系統中的各種蛋白質之間的相互作用，乙個細胞裡同類分子往往一共才幾十到幾千個，那麼平均場近似就不太恰當了。這時需要用更微觀的模型去描述。比如化學裡就有gillespie演算法等，用於模擬一大群不同的相互作用粒子在給定規則下具有隨機性的演化。其每一步往另一種狀態跳轉的概率，都與當前的各種粒子數目分布有關。
2、常微分與偏微分的區別？
常微分方程(組)與偏微分方程(組)的本質區別在於所研究的動力學空間中的物件不同。
常微分方程（組）描述的是n維動力學空間中的乙個點隨著時間變化而演化形成的乙個軌跡。
比如下圖，是乙個二維空間中的穩定螺旋點周圍的兩個點的運動隨時間變化而逐漸趨於不動點所形成的兩條軌跡[1]。
而偏微分方程（組）所刻畫的是乙個n維動力學空間中的乙個曲線、曲面、超曲面隨著時間變化而演化產生的乙個變化過程。
比如下圖所描述的，可以是一條曲線上各點的值隨時間變化的過程[2]。
3、為何物理、化學方程(組)常是偏微分的呢？
因為在物理和化學等考慮實際問題的科學中，我們研究乙個具體的物體的時候，關注的東西是乙個多個變數的函式的變化。
比如琴弦，我們關注的東西是它作為乙個整體在各處振動起來的高或低的分布情形，而不僅僅關注弦上的乙個點的運動，它是時間和位置的函式，所以我們用pde來描述這個東西所對應的動力學空間中的乙個曲線的變化（乙個空間的維度，乙個時間的維度）。
還比如二維的反應擴散系統中的圖靈斑圖(如下圖，是乙個系統中的空間上的物質分布隨時間變化而逐漸變化，形成斑圖的過程[3])，我們現在關注的是某種化學物質在各處的濃度作為乙個整體呈現給我們的在乙個面上的分布樣子（有些地方濃度高，有些地方濃度低，整體的分布呈現一定的規律）；因此我們用pde來描述這個動力學空間中的曲面的變化，它在空間上需要兩個維度，時間上需要乙個維度。
所以，選取什麼模型來刻畫這個世界，取決於所研究的物件是動力學空間中乙個曲線、(超)曲面隨時間整體的變化，還是乙個點隨時間的演化軌跡，也取決於我們的能力範圍。
(以下僅為個人觀點，供**)
另一方面，也許還取決於歷史經驗積累與實際條件。
最初的微分動力系統理論，是在經典力學蓬勃發展的背景下發展的。眾所周知，牛頓開創了一套體系相當完備的經典力學理論，而他也正是微積分的創始人之一，這部分數學與物理在那時的發展是相輔相成的。如果人們最初發展的是離散系統理論，而今我們能使用的數學手段，或許就會包含更多用於處理離散系統的工具與語言吧。在處理許多問題時，人們首先想到的是微分方程，而非離散動力學模型，這與經典理論與微積分共同發展的歷史或許也是脫不開關係的。
與之類似的另一例：在量子場論中，用各種方法來計算散射截面是一項最常見的任務。這或許並非因為必然只有散射截面這一物理量值得關心，而更多地是因為：基於一直以來的實驗發展情況，至今為止，只有這個量是比較好測的。
references
[1]differential equations - phase plane
[2]partial differential equations
[3]lee k c, yu q, erb u. mesostructure of ordered corneal nano-nipple arrays: the role of 5–7 coordination defects[j]. scientific reports, 2016, 6.
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