篩選法求素數

以前稍微總結了下求素數的辦法。但是無奈效率都不高。

今天逛了很多關於求素數的部落格，於是總結了一下最終寫出了乙個篩選法的改進演算法。

篩選法：

（一般篩選法）這種方法比較好理解，初始時，假設全部都是素數，當找到乙個素數時，顯然這個素數乘上另外乙個數之後都是合數(i是素數，那麼i*1,i*2....i*n就是合數）,把這些合數都篩掉，即演算法名字的由來。

但仔細分析能發現，這種方法會造成重複篩除合數，影響效率。比如10，在i=2的時候，k=2*15篩了一次；在i=5，k=5*6 的時候又篩了一次。所以，也就有了快速線性篩法。

[cpp]view plain

copy

? /*

一般篩選法

假設全部都是素數，當找到乙個素數時，

顯然這個素數乘上另外乙個數之後都是合數。

*/#include

#include

using

namespace std;

const

int maxn = 100000;

int isprime[maxn];

void makeprime()

} } }

/*
一般篩選法
假設全部都是素數，當找到乙個素數時，
顯然這個素數乘上另外乙個數之後都是合數。
*/#include#includeusing namespace std;
const int maxn = 100000;
int isprime[maxn];
void makeprime()
} }}

線性篩選法的原理：

首先，先明確乙個條件，任何合數都能表示成一系列素數的積。

每乙個合數必有乙個最大的因子（不包括它本身），用這個因子把合數篩掉，還要另一種說啊（每個合數必有乙個最小素因子，用這個素因子篩掉合數，其實是一樣的），因為最大因子是唯一的，所以合數只會被它自己唯一的因子篩掉一次，把所有合數篩掉剩下的就全是素數了

證明略（參照：線性篩選法求素數原理】）

[cpp]view plain

copy

? /*

線性篩選法

每個合數必定有乙個最大的素因子。

所以每個合數只會被篩掉一次。

比一般篩選法效率要高一些。

*/#include

#include

using

namespace std;

const

int maxn = 10000000;

int isprime[maxn];//判斷是不是素數，1是，0不是。

int prime[maxn];//存放求得的素數。

int temp = 0;//當前已知素數的個數。

void makeprime()

for (int j = 0; j < temp&&prime[j] * i < maxn; j++)//篩去合數。

} } }

/*
線性篩選法
每個合數必定有乙個最大的素因子。
所以每個合數只會被篩掉一次。
比一般篩選法效率要高一些。
*/#include#includeusing namespace std;
const int maxn = 10000000;
int isprime[maxn];//判斷是不是素數，1是，0不是。
int prime[maxn];//存放求得的素數。
int temp = 0;//當前已知素數的個數。
void makeprime()
for (int j = 0; j < temp&&prime[j] * i < maxn; j++)//篩去合數。
}}}

然而這個方法時間複雜度和空間複雜度都不是很理想。於是出現了下面的方法。

改進的地方：

1，避開所有偶數（除2外，2單獨處理）。因為偶數至少有因子2。這樣迴圈就可以減少一半了。

2，乙個合數總可以化成若干個素數的乘積。

3，奇數x奇數（素數）=奇數。

4，每個奇數只會被篩一次。

[cpp]view plain

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? /*

只篩奇數的篩選法。

節省空間和時間一半。

*/#include

#include

using

namespace std;

#define maxn 10000000

int prime[maxn/2];

int isprime[maxn/2];//isprime[i]表示isprime[2*i+1]，因為只處理奇數。

//【注：這裡的i為(2*i+1)】比如i=1時，表示的是2*1+1=3.同理i=2時，表示5，以此類推。

int temp = 0;

void makeprime()

long

int ans = i * 2 + 1;

for (int j = 1; j < temp; j++)//遍歷素數表裡小於等於ans的素數，然後把他們乘積所得的奇合數篩掉

//j從1開始因為prime[0]=2;乘積是偶數所以沒必要從0開始。j除了0之外

//所以得prime[j]都是奇素數。奇素數*奇素數=奇偶數。而且乘的都是小於

//等於ans的素數所以不會出現重複篩選的情況。

if ((ans*prime[j]) % 2==0)//若是偶數則跳過，不處理。

isprime[i*((prime[j]-1)/2)] = 0;//找到奇合數，記錄下來。

//((prime[j]-1)/2)是將prime[j]還原為只存奇數的形式。

//如5,5都是素數。那5*5=25就是奇合數對應isprime[i]的

//i=(25-1)/2=12;標記prime[12]=0;即等於說明25不是素數。

//這樣做可以節省一半的空間。

} }

}

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