清奇思路（六）從1到n整數中1出現的次數

2.2用公式寫出來

2.3**表示

1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13，因此「1」共出現6次；

求出任意非負整數區間中1出現的次數。

牛客網該題目下咩咩jiang的回答由於沒有圖，字也擠在一起-_-||，原諒我第一次真的看不進去。

部落格：yi_afly的專欄中從1到n整數中1出現的次數**並茂，講解的很清楚，思路上和上面的大佬是相近的，建議先看yi_afly的再回看咩咩jiang的，可能會稍稍好一些。

下面開始是我整理兩位的發言，梳理的比較有邏輯一點。

yi_afly從個位開始講解，但是最終仍然回歸到一樣的**上去，因此本文這裡先和咩咩jiang一樣，以百位為例，說明如何計算，然後再說明為什麼個位計算方法可以與百位的相同。

我們以數字          3

1 x 5
6 為例 //x表示百位數字不定（0~9）均有可能
那麼，很明顯可以知道，不管x是多少，在round從0~30輪中，百位上有「1」的次數至少是31次，因為百位每一次出現「1」需要持續100次（100-199），因此百位上「1」的個數至少有31∗
100 31
∗100
。這個100是由於百位本身的特性決定的，因此如果我們記x所在的位權重為base，如下圖所示： 
那麼，百位上「1」至少出現的次數就是：ro
und∗
base
r ou
nd∗b
ase.
這裡我們應該也知道，在第32輪，也就是round為31的時候，只有31100 - 31199百位上會出現「1」。 
所以如果
x>
1 x
>
1，那就是看
100−
199 100
−199
有多少個「1」。因此，如果x>1，百位上「1」的個數有31∗
100+1∗
100 31
∗100+1
∗100
。那麼，此時百位上「1」出現的次數就是：(r
ound
+1)∗
base
( ro
und+
1)∗b
ase.
在第32輪，也就是round為31的時候，只有31100 - 31199百位上會出現「1」。所以，如果x==
0 x==0
，那就是看
31000
−31056
31000
−31056
有多少個「1」。很明顯沒有。
那麼，此時百位上「1」出現的次數就是：(r
ound
)∗ba
se( ro
und)
∗bas
e.在第32輪，也就是round為31的時候，只有31100 - 31199百位上會出現「1」。所以，如果x==
1 x==1
，那就是看
31100
−31156
31100
−31156
有多少個「1」。取決於百位後面的數字是多少。 
如果我們記百位後面的數字為former，如圖所示： 
那麼，此時百位上「1」出現的次數就是：(r
ound
)∗ba
se+f
orme
r+1 (ro
und)
∗bas
e+fo
rmer
+1.1.r
ound
=n/b
ase/
10的商 1.ro
und=
n/ba
se/10
的商2.fo
rmer
=n/b
ase的
餘數2.fo
rmer
=n/b
ase的
餘數百位上「1」出現的次數就是： ro
und+
ϵ(x−
1))∗
base
+（fo
rmer
+1）∗
δ(x−
1)r ou
nd+ϵ
(x−1
))∗b
ase+
（for
mer+
1）∗δ
(x−1
)其中，ϵ(
x)是階
躍函式，
δ(x)
是衝激函
數 ϵ(x)
是階躍函
數，δ(
x)是衝激函式
int numberofones(int n)

return count;
}
當然，根據上述思路還有一些其他的**表示，也很精妙，但是我個人覺得不如我這個來的直觀。

最後說一說為什麼個位也可以用，因為個位的former為0。不會影響到個位整體計算公式的。
 
整數中1出現的次數（從1到n整數中1出現的次數）
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