LCT入門筆記

lct是動態樹的一種，通過維護實鏈和虛鏈來維護所有路徑之間的關係（類似於樹鏈剖分）。這樣做的目的是為了減少某些鏈上的修改、查詢等操作的複雜度。雖然lct常數巨大。

學lct的大部分都會樹剖吧？我們都知道樹剖維護子樹最大的兒子並形成一條重鏈，由於樹剖是靜態的，所以可以用線段樹來維護。而由於lct需要維護動態的邊，要加邊刪邊。所以需要用更靈活的資料結構來維護，也就是splay(也可以用非旋treap，但是打的人貌似比較少)。

lct將所有的邊分為實邊和虛邊，對於所有的實邊，都有互相連線的邊。而對於虛邊就只有兒子連到父親的邊。我們的splay維護所有的實邊，而剩下的虛邊則可以連線所有的splay。由於我們用splay維護，所以我們可以發現對於所有點x，它的兒子中只有一條實邊。每乙個splay維護的是一條從上到下按在原樹中深度嚴格遞增的路徑，且中序遍歷splay得到的每個點的深度序列嚴格遞增。如圖是一棵splay。接下去lct的講解就以它為例。（紅色為實邊）

lct中有關splay的操作：

void up(int k)
void revers(int k)
void down(int k)
}void rotate(int k)
void splay(int k)
up(k);
}

splay的操作類似於普通的splay，但是又有所不同，比如在進行rotate時我們需要判斷點是否為當前splay的根。而在進行splay操作時，必須時一定要從上往下放標記。

access操作：

access操作是lct的精髓。access(x)的操作是將當前lct的根到x的路徑上的所有邊變為實邊，比如下圖。

我們將從根到黑點的所有邊變為實邊，那麼就必須將一些本來的實邊變為虛邊。

那我們對於每個splay都將x旋轉到根，則x的連向右兒子的邊變為虛邊。並將x的右兒子變成上次access的點，然後上提x（將x變為其父親），繼續進行access操作即可。由於splay的性質，右兒子的深度大於點x，而由於我們已經確定了實邊，剩下的邊都是虛邊，所以將右兒子變為虛邊即可。（刪去x的右兒子，但是fa[右兒子]=x）,我們這樣一直往上提，就可以完成access操作。

void access(int k)while(k);
}

makeroot操作：

makeroot(x)操作指的是將點x變為當前lct的根，那我們先access(x)，打通x到根的路徑，然後再splay一下，則x就變成了當前splay的根，但是目前的splay是不滿足性質的，因為（當前）深度最小的x在樹根處，而所有的點都是x的左子樹，而實際上所有的點都應該在x的右子樹里（因為深度大於x），所以我們直接將整個區間reverse一下，翻轉一遍就可以滿足splay的性質了。

void makeroot(int k)

findroot操作：

findroot(x)表示x在的splay的樹根。我們先打通x到根的鏈，然後把x旋轉到根，由於我們要找的根深度最小（之前），所以直接一直尋找當前點的左兒子即可。注意在進行findroot時一定要下推標記，不然可能會錯。

int findroot(int k)

split操作：

split(x,y)可以處理出x到y的路徑。我們makeroot(x)，然後再access(y)，這樣就形成了乙個從x到y路徑的splay，然後我們將y旋轉到根，則y點上的值就是我們要求的路徑的值。

void split(int x,int y)

link操作：

link(x,y)表示連邊(x,y)，我們連x和y之前要先判斷一下，如果find(x)==find(y)，即x和y在同乙個splay裡，在同乙個聯通塊裡，那麼就直接return，不需要連邊。否則我們先makeroot(x),然後將x的父親變成y即可。

void link(int x,int y)

cut操作：

cut(x,y)表示刪邊(x,y)。我們考慮哪些情況不需要cut，首先如果find(x)!=find(y)，肯定不需要cut，因為它們根本不在同乙個聯通塊裡。我們makeroot(x)，那麼如果fa[x]!=y那也可以不刪，因為不存在x到y的邊。那如果x與y有邊就一定可以cut嗎？不，如果x有右兒子就不能刪，因為x有右兒子就會意味著x和y之間有別的邊。

void cut(int x,int y)

這些操作做完之後就完成了最基礎的lct操作，下面是luogu上lct模板題的code

#include
#define maxn 300005
using
namespace
std;
int read()
int son[maxn][2],fa[maxn],val[maxn],xyz[maxn],rev[maxn],sta[maxn];
void up(int k)
void revers(int k)
void down(int k)
}int isroot(int k)
void rotate(int k)
void splay(int k)
up(k);
}void access(int k)while(k);
}void makeroot(int k)
int findroot(int k)
void split(int x,int y)
void link(int x,int y)
void cut(int x,int y)
int n,m;
int main()
if(type==1) link(x,y);
if(type==2) cut(x,y);
if(type==3)
}return
0;}

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