i=
axiyi=axi
，然後在新的特徵空間進行建模、匹配，同樣得到乙個新的似然度pypy
。由於似然度分別在兩個不同空間計算，所以不能直接相比，解決的辦法有兩個，乙個是限制|a|
=1|a|=1
，另乙個辦法就是將似然度變換回原空間的尺度：p(x
n1,x
,x)=
py(y
n1,y
y)∗∏
mi=1
|a|n
ip(x1n,x,x)=py(y1n,yy)∗∏i=1m|a|ni
。這裡，採用第乙個限制來敘述，即採取限制|a|
=1|a|=1。=
a(n,
d)ex
p(−1
2n[(
μ¯¯¯
−μ)t
σ−1(
μ¯¯¯
−μ)+
tr(σ
−1σ¯
¯¯¯)
+log
|σ|]
)(1)
(1)p=a(n,d)exp(−12n[(μ¯−μ)tς−1(μ¯−μ)+tr(σ−1σ¯)+log|σ|])(n
,d)=
(2π)
−nd2
a(n,d)=(2π)−nd2
。在ml準則下，估計出來的模型引數μμ和σ
σ的估計值μˆμ^
和σˆσ^分別等於訓練資料的樣本均值μ¯¯
¯μ¯和樣本協方差σ¯¯
¯¯σ¯,代入等式(1)中得到 ∗(
xn1)
=g(n
,d)|
σ¯¯¯
¯|−n
2(2)
(2)p∗(x1n)=g(n,d)|σ¯|−n2(n
,d)=
(2πe
)−nd
2g(n,d)=(2πe)−nd2¯¯
¯¯σ¯i
=axi
yi=axi
，可以求出μ¯¯
¯y=a
μ¯¯¯
μ¯y=aμ¯和σ¯
¯¯¯y
=aς¯
¯¯¯a
tσ¯y=aσ¯at
。可以計算出其似然值 ∗(
xn1)
=g(n
,d)|
aς¯¯
¯¯at
|−n2
=|a|
−np∗
(xn1
)(3)
(3)p∗(x1n)=g(n,d)|aσ¯at|−n2=|a|−np∗(x1n)a|
=1|a|=1
，所以，做了線性變換之後，似然度並沒有變化，從ml的角度來說，模型並沒有被優化。
但是在實際應用中的高斯模型是受限的，即樣本協方差矩陣被對角化了。也就是說ml的模型引數μμ和σ
σ的估計值為μˆ=
μ¯¯¯
μ^=μ¯和σˆ
=dia
g(σ¯
¯¯¯)
σ^=diag(σ¯)
。那麼，式（3）的ml值就變成 ∗d
iag(
xn1)
=g(n
,d)|
diag
(σ¯¯
¯¯)|
−n2(4)
(4)pdiag∗(x1n)=g(n,d)|diag(σ¯)|−n2di
ag(σ
¯¯¯¯
)|≥|
σ¯¯¯
¯||diag(σ¯)|≥|σ¯|∗(
xn1)
≥p∗d
iag(
xn1)
p∗(x1n)≥pdiag∗(x1n)∗d
iag(
yn1)
=g(n
,d)|
diag
(σ¯¯
¯¯)|
−n2pdiag∗(y1n)=g(n,d)|diag(σ¯)|−n2
，可見，與式子（4）不同了，如果變換陣a能夠使得樣本協方差矩陣σ¯¯
¯¯σ¯盡可能對角化，減少取對角的損失，就可以使得p∗(
xn1)
≥p∗d
iag(
xn1)
p∗(x1n)≥pdiag∗(x1n)
。比如，a為樣本協方差矩陣σ¯¯
¯¯σ¯的pca變換陣，那麼由於aς¯
¯¯¯a
t=λaσ¯at=λ，λλ
是由σ¯¯¯
¯σ¯的特徵值組成的對角陣，而且|λ|
=|σ¯
¯¯¯|
|λ|=|σ¯|
，所以此時， ∗d
iag(
yn1)
=p∗(
xn1)
≥p∗d
iag(
xn1)
(5)(5)pdiag∗(y1n)=p∗(x1n)≥pdiag∗(x1n)
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