英國政治經濟學家馬爾薩斯在2023年提出了第乙個描述種群增長的馬爾薩斯人口增長模型，如下所示，y(t)為種群中的個體數量，是時間t的函式，k為比例常數(也稱內生增長率)，跟環境有關。 dy
dt=k
y→y=
ekt dyd
t=ky
→y=e
kt
該模型中假設在無侷限的環境下,養分充足,沒有天敵,種群免於疾病，增長率dy
dtd yd
t將和種群數量y成正比。下乙個時點種群個體數量會基於當前時點種群個體數量的k倍來增長。
關於該模型描述了以下的情形。假設某個草原上有n對兔子，每對兔子每年都生k對小兔子【小兔子在出生後下一年繼續生小小兔子，小兔子父母也繼續生小兔子】。那麼某一年兔子出生的對數是基於上一年兔子的規模的k倍。
但是這個模型是在非常理想的狀態下才成立的。首先，環境承載力要能容納新生的兔子，無論出生多少新兔子都能存活下去。其次，每對兔子都在不斷地生小兔子。這兩點都不符合實際情況。很多種群開始時的確是呈指數增長的。但到一定程度後，由於資源的消耗，種群的增長會趨向平穩。
2023年，數學家pierre-françois verhulst提出世界人口增長模型(左邊)，解決了馬爾薩斯人口模型的缺陷，並匯出了後來廣泛使用的邏輯斯蒂增長模型(logistic growth model)（右邊)。詳細的推導過程見附錄一：「由世界人口增長模型推出邏輯斯蒂方程」dy
dt=k
y(1−
ye)→
y=e1
+me−
ktd yd
t=ky
(1−y
e)→y
=e1+
me−k
t模型中，引進修正因子(1
−ye)
( 1−
ye
)，e為環境承載能力，當現有種群個數y遠小於e時，(1
−ye)
( 1−
ye
)接近1，這時模型接近馬爾薩斯的人口模型。它表示，在種群開始繁殖的時候，增長速度呈指數增長的。在種群個數y逐漸接近e的過程中，(1
−ye)
( 1−
ye
)也越遠離1而接近0，這表示種群增長速度越來越小，最後趨於穩定，不再增長。因此模型是自我抑制的。
自從邏輯斯蒂增長模型誕生以來，它從生物的種群模型拓展到醫學，管理學，經濟學等各個領域，應用非常廣泛。
比如在資訊傳播學中，在資訊傳播初期知道資訊的人很少，但隨著時間的推移，知道的人越來越多，到一定時間，社會上大部分人都知道了這一資訊，此時資訊傳播速度及傳播過程中的數量關係可用邏輯斯蒂方程來描述。
又比如在經濟學領域中，商品銷售**問題某種商品開始銷售時，知道的人很少，銷售量也就很小。但隨著該商品的資訊通過各種渠道傳播出去以後，銷售量大量，市場接近飽和時銷售量增加又變得極為緩慢。此類問輯斯蒂方程解決，用以**某段時間後的銷售，便於廠家組織生產，商家安排進貨。
邏輯斯諦回歸模型
logistic分布函式形式 在該方程式中，x是隨機變數，是平均值，s是與標準偏差成比例的比例引數。這個方程我們只需要了解，在邏輯回歸模型中真正用到的是sigmoid函式 當上式中的 0，s 1時，即為sigmoid函式 s z 11 e z s z frac s z 1 e z 1 邏輯回歸 lo...
六 邏輯回歸與最大熵模型
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因變數隨著自變數變化而變化。多重線性回歸是用回歸方程描述乙個因變數與多個自變數的依存關係，簡稱多重回歸，其基本形式為 y a bx1 cx2 nxn。二項分布即重複n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的...