CKF演算法實現

#ckf演算法實現

注： **the points and weights ** of the cubature rule areindependentwith the integrand f(x

)f(x)

f(x)

.所以，容積規則的點和權重可以離線計算並預先儲存以加快計算速度。

consider a multi-dimension weighted integral of the form

i (f

)=∫d

f(x)

ω(x)

dx

i(f)=\int_df(x)\omega(x)dx

i(f)=∫

d​f(

x)ω(

x)dx

the basic taskof numerically computingi(f

)i(f)

i(f)

is to find a set of points x

ix_i

xi​ and weights ω

i\omega_i

ωi​ (f

)i(f)

i(f)

by a weighted sum of function evalutions .

i (f

)≈∑i

=1mω

if(x

i)

i(f)≈i

=1∑m

​ωi​

f(xi

​)

xx是服從高斯分布的，f

ff是任意非線性函式。

an efficient non-product third-degree fully symmetriccubature ruleis proposed to find

\for **gaussian weighted integrals. **

∫rn

f(x)

n(x;

μ,σ)

dx=1

πn∫r

nf(2

σx+μ

)e−x

txdx

\int_f(x)n(x;\mu,\sigma)dx = \frac} \int_f(\sqrtx+\mu)e^dx

∫rn​f(

x)n(

x;μ,

σ)dx

=πn​

1​∫r

n​f(

2σ​x

+μ)e

−xtx

dx

∫rn

f(x)

e−xt

xdx≈

∑j=1

ms∑i

=1mr

aibj

f(ri

sj)∫r

n​f(

x)e−

xtxd

x≈j=

1∑ms

​​i=

1∑mr

​​ai

​bj​

f(ri

​sj​

)

（當n一定，ai=

γ(n/

2)2,

bj=2

πn2n

γ(n/

2),r

i=n/

2,sj

=1

a_i=\frac,b_j=\frac},r_i=\sqrt,s_j=1

ai​=2γ

(n/2

)​,b

j​=2

nγ(n

/2)2

πn​​

,ri​

=n/2

​,sj

​=1都是常值；且mr=

1m_r=1

mr​=

1，乙個點；m=m

s=2n

m=m_s=2n

m=ms​=

2n）in(

f)=∫

rnf(

x)n(

x;0,

i)dx

=1πn

∫rnf

(2x)

e−xt

xdx≈

1πn∑

j=1m

γ(n/

2)2b

jf(2

n/2s

j)=∑

i=1m

12nf

(n[1

]i)in

​(f)

=∫rn

​f(x

)n(x

;0,i

)dx=

πn​1

​∫rn

​f(2

​x)e

−xtx

dx≈π

n​1​

j=1∑

m​2γ

(n/2

)​bj

​f(2

​n/2

​sj​

)=i=

1∑m​

2n1​

f(n​

[1]i

​)

for gaussian distribution with non-zero mean and non-unity covariance, the cubature points will be located at (σ[

1]i+

μ)

( \sqrt[1]_i+\mu)

(σ​[1]

i​+μ

).[2]

[2] bhaumik, shovan, cubature quadrature kalman filter, 2013

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