前言
在學習莫隊演算法之前，我一直以為這是乙個很高深的演算法。（實際上，它就是乙個很高深的演算法）
這個演算法玄學地將分塊與暴力兩大演算法實現了二合一，從而打造出了乙個時間複雜度為o(n
n)
o(n\sqrt n)
o(nn)
的求解多個區間詢問的離線演算法。
具體介紹
首先，我們以詢問中l
ll所在的區間為第一關鍵字，以r
rr的位置為第二關鍵字進行排序。
然後，我們可以先暴力求解第乙個詢問，並將l
ll指標指向第乙個詢問的l
ll，將r
rr指標指向第乙個詢問的rrr。
隨後，對於第i
ii個問題，我們都可以將當前詢問的區間[li
,ri]
[l_i,r_i]
[li,r
i]的答案從上一次詢問的區間[li
−1,r
i−1]
[l_,r_]
[li−1
,ri−
1]的答案推得。只要將l
ll指標從li−
1l_
li−1
這個位置開始向l
il_i
li一點點移動，並且一邊移動一邊更新答案（更新答案的過程一般是先減去原先的答案，然後再加上更新後的新答案），對r
rr指標的操作類似。
一道模板題
這樣的描述畢竟不夠具體，下面讓我們看一道模板題：【洛谷2709】小b的詢問
就拿我部落格中的**為例，我們來具體地看一下幾個地方。l in
klink
link
【洛谷2709】小b的詢問 的題解詳見部落格【洛谷2709】小b的詢問（莫隊模板題）。
第乙個地方：如何將讀入的詢問排序。
我們可以在讀入序列的資訊的同時對該序列進行分塊：
//第34行
pos[i]
=(i-1)
/sqrt
(n)+1;
//將序列分塊
ll和r
rr儲存下來，我們同時也要儲存這個詢問是第幾個讀入的：
//第35行
for(i=
1;i<=q;
++i)
read
(q[i]
.l),
read
(q[i]
.r),q[i]
.pos=i;
//儲存下來每乙個詢問
//第26~29行
bool
cmp(query x,query y)
//排序所需的cmp()函式
//第36行
sort
(q+1
,q+q+
1,cmp)
;//將詢問排序
這應該是莫隊演算法中比較核心的部分了。這裡以l
ll指標為例，r
rr指標的操作也是類似的，具體可以參考我的**。
第一種情況，若l
i].l lli].l ：//第43行
ans-
=cnt[a[l]
]*cnt[a[l]],
--cnt[a[l]
],ans+
=cnt[a[l]
]*cnt[a[l]],
++l;
//我們可以用cnt陣列來儲存每個數字出現的次數，用ans來儲存答案。先將ans減去原先的答案（即cnt[a[l]]的平方），然後更新cnt[a[l]]（將cnt[a[l]]減1），再將ans加上新的答案（更新後的cnt[a[l]]的平方），最後將l指標加1即可（這個操作類似於乙個刪除操作，所以是先刪除，再更新指標）第二種情況，若l
>q[
i].l
l>q[i].l
l>q[
i].l
：
//第44行
--l,ans[q[i]
.pos]
-=cnt[a[l]
]*cnt[a[l]],
++cnt[a[l]
],ans[q[i]
.pos]
+=cnt[a[l]
]*cnt[a[l]];
//先將l指標減1，然後將ans減去原先的答案，在更新cnt[a[l]]（將cnt[a[l]]加1），最後將ans加上新的答案（這個操作類似於乙個增加操作，所以是先更新指標，再增加，與上面剛好相反）
分析完了**，最後，我們來分析一波時間複雜度：
對於l
ll指標，有兩種情況：①在塊內移動。由於每個塊的大小為n
\sqrt n
n，所以移動的時間複雜度為o(n
)o(\sqrt n)
o(n
)，由於總共有q
qq個詢問，所以總複雜度為o(q
n)
o(q\sqrt n)
o(qn)
。②移動到了下乙個塊。由於每個塊的大小為n
\sqrt n
n，所以每次移動到下乙個塊的時間複雜度為o(n
)o(\sqrt n)
o(n
)，又因為總共有n
\sqrt n
n個塊，所以這種情況下的總複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
。綜上所述，l
ll指標的移動複雜度大致為o(q
n)
o(q\sqrt n)
o(qn)
。對於r
rr指標，我們可以發現，只要l
ll指標所在的塊不變，r
rr指標指向的位置始終是**單調遞增（或遞減）**的，也就是說，對於同乙個塊內的l
ll指標，r
rr指標的移動複雜度是o(n
)o(n)
o(n)
的。又因為總共有n
\sqrt n
n個塊，所以r
rr指標總的移動複雜度是o(n
n)
o(n\sqrt n)
o(nn)
的。因此總共的複雜度為o((
n+q)
n)
o((n+q)\sqrt n)
o((n+q
)n)
，由於一般來說n=q
n=qn=
q，所以可以近似地把時間複雜度當做o(n
n)
o(n\sqrt n)
o(nn)
，這應該是比較快的了。
莫隊演算法，就是這樣乙個玄學的演算法，相當於乙個巧妙的暴力。
例題附註，另一道例題：【洛谷1494】[國家集訓隊] 小z的襪子
l in
klink
link
【洛谷1494】[國家集訓隊] 小z的襪子 的題解詳見部落格【洛谷1494】[國家集訓隊] 小z的襪子（莫隊）
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