歸併排序與逆序對

歸併問題按照分治三步法進行介紹：

劃分問題：把序列分成元素個數盡量相等的兩半

遞迴求解：把兩半元素分別排序

合併問題：把兩個有序表合併成乙個

借鑑乙個部落格的圖

**排序演算法(四)之歸併排序

可以看到這種結構很像一棵完全二叉樹，本文的歸併排序我們採用遞迴去實現（也可採用迭代的方式去實現）。分階段可以理解為就是遞迴拆分子序列的過程，遞迴深度為log2n。

再來看看治階段，我們需要將兩個已經有序的子串行合併成乙個有序序列，比如上圖中的最後一次合併，要將[4,5,7,8]和[1,2,3,6]兩個已經有序的子串行，合併為最終序列[1,2,3,4,5,6,7,8]，來看下實現步驟。

再借鑑乙個部落格的**：

白話經典演算法系列之五歸併排序的實現（講的真好）

首先考慮下如何將將二個有序數列合併。這個非常簡單，只要從比較二個數列的第乙個數，誰小就先取誰，取了後就在對應數列中刪除這個數。然後再進行比較，如果有數列為空，那直接將另乙個數列的資料依次取出即可。

//將有序陣列a和b合併到c中  
void memeryarray(int a, int n, int b, int m, int c) 
while (i < n) 
c[k++] = a[i++]; 
while (j < m) 
c[k++] = b[j++]; 
}

可以看出合併有序數列的效率是比較高的，可以達到o(n)。

解決了上面的合併有序數列問題，再來看歸併排序，其的基本思路就是將陣列分成二組a，b，如果這二組組內的資料都是有序的，那麼就可以很方便的將這二組資料進行排序。如何讓這二組組內資料有序了？

可以將a，b組各自再分成二組。依次類推，當分出來的小組只有乙個資料時，可以認為這個小組組內已經達到了有序，然後再合併相鄰的二個小組就可以了。這樣通過先遞迴的分解數列，再合併數列就完成了歸併排序。

//將有二個有序數列a[first...mid]和a[mid...last]合併。  
void mergearray(int a, int first, int mid, int last, int temp) 
while (i <= m) 
temp[k++] = a[i++]; 
while (j <= n) 
temp[k++] = a[j++]; 
for (i = 0; i < k; i++) 
a[first + i] = temp[i]; 
} void mergesort(int a, int first, int last, int temp) 
} bool mergesort(int a, int n)

看了劉汝佳的演算法競賽入門經典，發現了更簡潔的寫法。貼出**和解釋：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
const
int maxn = 1000;
void merge_sort(int* a, int x,int y, int* t)
for(i = x; i < y; i++)
a[i] = t[i];//從輔助空間複製回a陣列
}}int main()

再引用乙個很好的部落格利用歸併排序求逆序對

在歸併排序的合併步驟中，假設將兩個有序陣列a 和有序陣列b 和並為乙個有序陣列c。計算逆序對問題轉換為計算逆序對(a,b)的問題，其中a來自a, b來自b。當a < b的時候，不計數，當a>b的時候(a,b)就是逆序對，由於a是有序的，那麼a中位於a之後的元素對於b中的元素b也形成了逆序對，於是對於逆序對(a,b)，（假設a的起始下標為sa,結束下標為ea,a的下標為pos）實際上合併成c後會會產生ea-pos+1個逆序對。

也就是說，合併過程中，每次出現一對這樣的(a,b),逆序對數目sum = sum + ea-pos+1 ;

根據這樣的原理，再給予對歸併排序的理解，將上面的計算公式加入到歸併排序中，就可以在o(nlogn)的時間複雜度裡計算出乙個給定數字序列中逆序對的數目。

再看劉汝佳的描述：

只要對於右邊的每個j，統計左邊比它大的元素個數f(j)，則所有f(j)之和便是答案。

由於合併操作是從小到大進行的，當右邊的a[j]複製到t中時，左邊還沒來得及複製到t的那些數就是左邊所有比a[j]大的數

在歸併排序的**的基礎上

將else t[i++] = a[q++];改為else。在呼叫前應給cnt清零。

**按上面描述改一下就可以了

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
const
int maxn = 1000;
int cnt;
void merge_sort(int* a, int x,int y, int* t)
}for(i = x; i < y; i++)
a[i] = t[i];//從輔助空間複製回a陣列
}}int main()

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