卡特蘭數公式：
2.乙個棧（無窮大）的進棧序列為1，2，3，… ，n,有多少個不同出棧序列？
分析：
（1）對於每個數來說，必須進棧一次，出棧一次。我們把進棧設為狀態「1」，出棧設為狀態「0」。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1，…，n的順序排列，入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a<=b)，因此輸出序列的總數目等於由左到右掃瞄有n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
下面是**：
不可能存在棧底的元素已經出棧了，但是棧頂的還沒出來。所以從左到右掃瞄1的累計數一定不小於0的累計數。
（2）在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c（2n，n），不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（從左到右掃瞄，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。
不符合要求的數的特徵是從左到右掃瞄時，必然在某乙個奇數字2m+1位上首先出現m+1個-的累計數和m個1的累計數，此後的2（n-m）-1位上有n-m個1和n-m-1個0。如若把後面這個2（n-m-1）-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果的1個有n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即乙個不合要求的數對應於乙個有n+1個0和n-1個1組成的排列。
（3）反過來，任何乙個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多餘2個，2n為偶數，故必在某乙個奇數字上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應乙個不符合要求的數。
因為不符合要求的2n位數與n+1個0，n-1個1組成的排列一一對應。
顯然不符合要求的方案數為c（2n，n+1）。由此得出輸出序列的總數目為：
c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)
等量關係證明：
應用題目：
hdu 1023 火車進站問題：
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