8皇后問題

1.問題描述：

在n×n的棋盤上放置n個不能互相捕捉的西洋棋「皇后」的所有布局。這是**於西洋棋中的乙個問題。皇后是棋盤上最具殺傷力的乙個棋子，她可以捕捉與她在同一行，或同一列，或同一斜線（有兩條）上的所有棋子。如下圖所示，紅線經過的格仔都會被皇后捕捉。

2.問題分析：

1)皇后的殺傷力在她所對應的行，列，和兩條斜線上，所以應該滿足該皇后所在的行、列和兩條斜線都不存在其它皇后。

2)所以為了避免皇后衝突，乙個可行的辦法是將棋盤上所有的行，列，和斜線的占用狀態分別用陣列存起來，初始狀態為未占用。在每成功放入乙個皇后以後，將該皇后所對應的行，列，和兩條斜線的狀態更新為占用。在每次嘗試將某個皇后放置到某個位置的時候，需要檢查該位置所對應的行，列，和斜線的占用狀態，只有全部未被占用，才可以將該皇后放到該位置。

3)接下來的問題有兩個：一是如何用陣列來儲存棋盤上所有的行，列，和斜線的占用狀態？二是對棋盤上每乙個位置如何找到它所對應的行、列和斜線在狀態陣列中的位置。以下分行、列、左低右高斜線和左高右低斜線四種情況來討論：

行：對n×n的棋盤有n行（1 ～n），用乙個n + 1維的陣列row[n + 1]（row[0]不用）來表示每一行的占用狀態。位置（i，j）對應的行的占用狀態為row[i]。

列：對n×n的棋盤有n列（1 ～n），用乙個n + 1維的陣列col[n + 1]（col[0]不用）來表示每一列的占用狀態。位置（i，j）對應的列的占用狀態為col[j]。

左低右高斜線：n×n的棋盤總共有2n – 1條左低右高斜線，所以可以用2n維的陣列b[2n]（b[0]不用）來儲存每一條左低右高斜線的占用狀態。。對某一條斜線，其特點是它所經過的每乙個格仔的（列號+ 行號）相等，所以可以用這個值作為陣列下標來唯一標記每一條左低右高斜線，為了使下標從1開始，對所有的下標減1。如下圖所示。位置（i，j）對應的左低右高斜線的占用狀態為b[i + j – 1]。

左高右低斜線：n×n的棋盤總共有2n – 1條左高右低斜線，所以可以用2n維的陣列c[2n]（c[0]不用）來儲存每一條左高右低斜線的占用狀態。。對某一條斜線，其特點是它所經過的每乙個格仔的（列號– 行號）相等，所以可以用這個值作為陣列下標來唯一標記每一條左高右低斜線，為了避免出現負值，將所有的下標值都加上乙個n。如下圖所示。位置（i，j）對應的左高右低斜線的占用狀態為c[n + j - i]。

3. 解題思路：

1) 要將n個皇后放到n×n的棋盤中，則每一列必須且只能放乙個皇后。所以問題轉化為確定皇后在每一列中的位置（在第幾行上）。

2) 從第一列開始，依次考察每一列。

3) 在考察每一列的時候，總是從第一行開始，嘗試將皇后放入，如果可以放入，就接著考察下一列的第一行。如果不可以放入，就接著考察這一列的下一行，直到成功，然後接著考察下一列的第一行。

4) 如果這一列的每一行都不可以放入，說明這一列前面各列的皇后放置有問題，導致這一列無法放入，需要回溯。

5) 回溯的時候，如果前面的一列每一行都已經被嘗試過了，就需要接著往前回溯，直到找到還有行未被嘗試過的列，然後嘗試這一列的下一行。

6) 在回溯過程中經過的每一列都需要將已經放入的皇后取出來，以備後面重新選擇位置放入。

7) 如果每一列都被考察完畢，即每一列中的皇后都找到了合適的位置，則找到乙個解。

8) 在找到乙個解後，如果還要尋找其它解，則需要回溯，嘗試其它情況。

9) 當回溯到第0列時，說明1 ~ n列的所有行都已經被嘗試過了，沒有其它情況可以嘗試，結束程式。

4.**：#include using namespace std; void queenlayout(int n); void display(int col,int n); int main() void queenlayout(int n) //初始化所有的斜線為未被占用狀態 for(j=0;j<2*n;j++) do //已經找到乙個解，回溯找下乙個解。 //一直回溯到還有行未被考察過的列 while(col[m]==n) //考察這一列的下一行 col[m]++; } else } else //考察這一列的下一行 col[m]++; } //考察皇后是否可以被放在當前考察列的當前考察行，即她對應的行和兩條斜線是否全部未被占用 occupied=row[col[m]] || b[m+col[m]-1] || c[n+m-col[m]]; }while(m!=0);//退到m == 0, 表示 1 ~ n 列的所有行都被考察過了，即考察過了所有可能的情況，整個考察過程結束。 delete row; delete col; delete b; delete c; } void display(int col,int n) { char **map=new char*[n]; for(int i=0;i一部分測試結果

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