在城市中，我們估算兩點之間的距離時，往往不會直接去測量兩點之間的直線距離，而會去考慮它們相距多少個街區。在理想模型中，假設每條道路都是水平或者豎直的，那麼只要你朝著目標走（不故意繞遠路），不管你怎樣走，花費的路程都是一樣的。今天，我看到了乙個非常有意思的名詞——計程車幾何學 (taxicab geometry) ，其名稱就**於這樣的想法。
在計程車幾何學中，點還是形如 (x, y) 的有序實數對，直線還是滿足 a x + b y + c = 0 的所有 (x, y) 組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣。只是，(x1, y1) 和 (x2, y2) 的距離重新定義為了 |x1- x2| + |y1- y2| (#add曼哈頓距離)，即兩點的橫座標之差加上縱座標之差。
這是乙個對「距離」的合理定義，因為它滿足
也就是說計程車幾何學是建立在乙個合理的度量空間上的。這是乙個全新的幾何世界。
在這個世界裡，很多經典幾何定理仍然成立。比方說，三角形的內角和還是 180 度。因為，這是乙個關於角度的定理，與距離的度量方式無關；既然角度的度量方式不變，三角形的內角和也仍然不會變。
不過，一旦涉及到三角形的邊長，很多基本命題就不再成立了。等邊對等角是首先被否定掉的定理，底角不相等的等腰三角形滿地都是。例如上圖中的三角形 abc ，雖然 ab = ac ，但三角形的兩個底角顯然不等。類似地，等角對等邊也不成立了，例如右圖中雖然角 e 和角 f 相等，但 de = 5 ， df = 7 。 更不可思議的是，在計程車幾何中，甚至能畫出等邊直角三角形來！
在這個幾何世界中，邊邊邊不能用來判斷三角形全等了。我們可以畫出兩個三角形 abc 和 a'b'c' ，它們的對應邊都相等，但這兩個三角形並不能重合在一起。邊角邊也不能作為全等三角形的判定依據了——三角形 def 和 d'e'f' 都是直角邊均為 2 的直角三角形，不過它們明顯不全等。
真正有趣的不是計程車幾何學世界中的三角形，而是這個世界中的圓。我們仍然定義圓是所有到定點距離為定值的點組成的圖形。那麼在這個幾何世界裡，圓是什麼樣的？下圖給出了這個幾何世界中乙個半徑為 2 的圓，圓周上的所有點到 o 的距離均為 2 ：
驚奇的不止這一點。圓的方程似乎更簡單了，以原點為圓心的單位圓對應的方程是 |x| + |y| = 1 。更神奇的是，這個幾何世界的圓周率值也不一樣了，它精確地等於 4 ！
重新定義距離後，很多圖形會變得更加複雜。定義兩點間的垂直平分線為到兩點距離相等的點組成的圖形。在這個幾何世界裡，垂直平分線是什麼樣的？在一般情況下，垂直平分線並不是「垂直」平分線，而是一條折線段。
但儘管垂直平分線如此奇怪，不過（一般情況下）三角形三邊的垂直平分線仍然交於一點。這是因為，「三角形三邊的垂直平分線交於一點」的證明過程只與垂直平分線的定義有關，而與垂直平分線的具體形式是無關的。即使證明過程用到了距離的定義，用到的也是新舊兩種定義共有的一些基本性質。更有趣的是，這個點也是名副其實的「外心」，以它為中心可以作出這個三角形的外接圓來！也就是說，在計程車幾何裡，一般位置上的三個點也唯一地確定了乙個圓。
不過，也有一些特殊的情況，三點不能確定乙個圓。比方說，同時過 (0, 1) 、 (0, -1) 、 (1, 0) 的圓就有無窮多個。這是因為，(0, 1) 和 (1, 0) 的垂直平分線，以及(0, -1) 和 (1, 0) 的垂直平分線都不是「線」，有整塊區域的點都滿足到兩端點的距離相等。因此這幾條「垂直平分線」的交集不止乙個點。
還有哪些歐氏幾何的經典結論在計程車幾何學中同樣成立？計程車幾何學中有什麼漂亮而獨特的結論？如何定義一些更加複雜的幾何物件？它們在計程車幾何學中又是什麼樣？大家不妨繼續往下思考一下。
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