題目：
n個數字（
0,1,…,n-1
）形成乙個圓圈，從數字
0開始，每次從這個圓圈中刪除第
m個數字（第乙個為當前數字本身，第二個為當前數字的下乙個數字）。當乙個數字刪除後，從被刪除數字的下乙個繼續刪除第
m個數字。求出在這個圓圈中剩下的最後乙個數字。
分析：本題就是有名的約瑟夫環問題。既然題目有乙個數字圓圈，很自然的想法是我們用乙個資料結構來模擬這個圓圈。在常用的資料結構中，我們很容易想到用環形列表。我們可以建立乙個總共有
m個數字的環形列表，然後每次從這個列表中刪除第
m個元素。
在參考**中，我們用
stl中
std::list
來模擬這個環形列表。由於
list
並不是乙個環形的結構，因此每次跌代器掃瞄到列表末尾的時候，要記得把跌代器移到列表的頭部。這樣就是按照乙個圓圈的順序來遍歷這個列表了。
這種思路需要乙個有
n個結點的環形列表來模擬這個刪除的過程，因此記憶體開銷為
o(n)
。而且這種方法每刪除乙個數字需要
m步運算，總共有
n個數字，因此總的時間複雜度是
o(mn)。當m
和n都很大的時候，這種方法是很慢的。
接下來我們試著從數學上分析出一些規律。首先定義最初的
n個數字（
0,1,…,n-1
）中最後剩下的數字是關於n和
m的方程為
f(n,m)。
在這n個數字中，第乙個被刪除的數字是
(m-1)%n
，為簡單起見記為
k。那麼刪除
k之後的剩下
n-1的數字為
0,1,…,k-1,k+1,…,n-1
，並且下乙個開始計數的數字是
k+1。相當於在剩下的序列中，
k+1排到最前面，從而形成序列
k+1,…,n-1,0,…k-1
。該序列最後剩下的數字也應該是關於n和
m的函式。由於這個序列的規律和前面最初的序列不一樣（最初的序列是從
0開始的連續序列），因此該函式不同於前面函式，記為
f』(n-1,m)
。最初序列最後剩下的數字
f(n,m)
一定是剩下序列的最後剩下數字
f』(n-1,m)
，所以f(n,m)=f』(n-1,m)。
接下來我們把剩下的的這
n-1個數字的序列
k+1,…,n-1,0,…k-1
作乙個對映，對映的結果是形成乙個從0到
n-2的序列：
k+1->0
k+2->1
…n-1
->
n-k-2 0
->
n-k-1 …
k-1 ->
n-2
把對映定義為p，則
p(x)= (x-k-1)%n
，即如果對映前的數字是
x，則對映後的數字是
(x-k-1)%n
。對應的逆對映是p-1
(x)=(x+k+1)%n。
由於對映之後的序列和最初的序列有同樣的形式，都是從
0開始的連續序列，因此仍然可以用函式
f來表示，記為
f(n-1,m)
。根據我們的對映規則，對映之前的序列最後剩下的數字
f』(n-1,m)= p
-1[f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k
=(m-1)%n
代入得到
f(n,m)=f』(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。
經過上面複雜的分析，我們終於找到乙個遞迴的公式。要得到
n個數字的序列的最後剩下的數字，只需要得到
n-1個數字的序列的最後剩下的數字，並可以依此類推。當
n=1時，也就是序列中開始只有乙個數字
0，那麼很顯然最後剩下的數字就是
0。我們把這種關係表示為：
0n=1
f(n,m)=
//remove the mth integer. note that std::list is not a circle
// so we should handle it manually
list<
int>::iteratornextinteger = ++ curinteger; if
(nextinteger== integers.end())
nextinteger = integers.begin();
--curinteger;
integers.erase(curinteger);
curinteger = nextinteger;
}return
*(curinteger); }
/////n integers (0, 1, ... n - 1) form a circle. remove the mth from
//the circle at every time. find the last number remaining
//input: n - the number of integers in the circle initially
//m - remove themth number at every time
//output: the last number remaining when the input is valid,
//otherwise -1
///intlastremaining_solution2(
intn,
unsigned
intm)
如果對兩種思路的時間複雜度感興趣的讀者可以把n和
m的值設的稍微大一點，比如十萬這個數量級的數字，執行的時候就能明顯感覺出這兩種思路寫出來的**時間效率大不一樣。
約瑟夫問題 約瑟夫環
約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死...
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約瑟夫問題
這是17世紀的法國數學家加斯帕在 數目的遊戲問題 中講的乙個故事 15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能倖免於難，於是想了乙個辦法 30個人圍成一圓圈，從第乙個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此迴圈進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法，才能使每次...