把陣列排成最小的數

輸入乙個正整數陣列，將它們連線起來排成乙個數，輸出能排出的所有數字中最小的乙個。例如輸入陣列

，則輸出這兩個能排成的最小數字

32132

。請給出解決問題的演算法，並證明該演算法。

分析：這是09年

6 這道題其實是希望我們能找到乙個排序規則，根據這個規則排出來的陣列能排成乙個最小的數字。要確定排序規則，就得比較兩個數字，也就是給出兩個數字m和

n，我們需要確定乙個規則m和

n哪個更大，而不是僅僅只是比較這兩個數字的數值哪個更大。

根據題目的要求，兩個數字m和

n排成的數字mn和

nm，如果

mn，那麼我們應該輸出

mn，也就是

m應該排在

n的前面，也就是m小於

n；反之，如果

nm，n小於m

。如果mn==mn，m

等於n。

接下來我們考慮怎麼去拼接數字，即給出數字m和

n，怎麼得到數字mn和

nm並比較它們的大小。直接用數值去計算不難辦到，但需要考慮到的乙個潛在問題是m和

n都在int能表達的範圍內，但把它們拼起來的數字mn和

nm就不一定能用

int表示了。所以我們需要解決大數問題。乙個非常直觀的方法就是把數字轉換成字串。

另外，由於把數字m和

n拼接起來得到的mn和

nm，它們所含有的數字的個數肯定是相同的。因此比較它們的大小只需要按照字串大小的比較規則就可以了。

基於這個思路，我們可以寫出下面的**：

// maxinum int number has 10 digits in decimalsystem

const

intg_maxnumberlength = 10;

// string buffers to combine two numbers

char

*g_strcombine1 =

newchar

[g_maxnumberlength * 2 + 1];

char

*g_strcombine2 =

newchar

[g_maxnumberlength * 2 + 1];

// given an array, print the minimum number

// by combining all numbers in the array

void

printminnumber(

int* numbers,

intlength)

// sort all strings according to algorithm infunction compare

qsort(strnumbers, length,

sizeof

(char

*), compare);

for(int

i = 0; i < length;++i)

printf(

"%s"

,strnumbers[i]);

printf(

"\n");

for(

inti = 0; i < length;++i)

delete

strnumbers[i];

delete

strnumbers; }

// compare two numbers in strnumber1 andstrnumber2

// if [strnumber1][strnumber2] >[strnumber2][strnumber1],

// return value > 0

// if [strnumber1][strnumber2] =[strnumber2][strnumber1],

// return value = 0

// if [strnumber1][strnumber2] <[strnumber2][strnumber1],

// return value < 0

intcompare(

const

void

* strnumber1,

const

void

* strnumber2)

上述**中，我們在函式

compare

中定義比較規則，並根據該規則用庫函式

qsort

排序。最後把排好序的陣列輸出，就得到了根據陣列排成的最小的數字。

找到乙個演算法解決這個問題，不是一件容易的事情。但更困難的是我們需要證明這個演算法是正確的。接下來我們來試著證明。

首先我們需要證明之前定義的比較兩個數字大小的規則是有效的。乙個有效的比較需要三個條件：1.自反性，即a等於a；2.對稱性，即如果a大於b，則b小於a；3.傳遞性，即如果a小於b，b小於c，則a小於c。現在分別予以證明。

自反性。顯然有aa=aa，所以a=a。

對稱性。如果a小於b，則ab，所以ba>ab。因此b大於a。

傳遞性。如果a小於b，則ab。當a和b用十進位制表示的時候分別為l位和m位時，ab=a×10m+b，ba=b×10l+a。所以a×10m+b×10l+a。於是有a×10m-a< b×10l –b，即a(10m-1)。所以a/(10l -1)。

如果b小於c，則bc。當c表示成十進位制時為m位。和前面證明過程一樣，可以得到b/(10m-1)。

所以a/(10l-1)< c/(10n -1)。於是a(10n -1)，所以a×10n +c×10l +a，即ac。

所以a小於c。

在證明了我們排序規則的有效性之後，我們接著證明演算法的正確性。我們用反證法來證明。

我們把n個數按照前面的排序規則排好順序之後，表示為a1a2a3…an。我們假設這樣排出來的兩個數並不是最小的。即至少存在兩個x和y（0），交換第x個數和地y個數後，a1a2…ay…ax…an。

由於a1a2…ax…ay…an是按照前面的規則排好的序列，所以有ax。

由於ay-1小於ay，所以ay-1ay。我們在序列a1a2…ax…ay-1ay…an交換ay-1和ay，有a1a2…ax…ay-1ay…an（這個實際上也需要證明。感興趣的讀者可以自己試著證明）。我們就這樣一直把ay和前面的數字交換，直到和ax交換為止。於是就有a1a2…ax…ay-1ay…an。

同理由於ax小於ax+1，所以axax+1。我們在序列a1a2…ayaxax+1…ay-2ay-1…an僅僅只交換ax和ax+1，有a1a2…ayaxax+1…ay-2ay-1…an。我們接下來一直拿ax和它後面的數字交換，直到和ay-1交換為止。於是就有a1a2…ayaxax+1…ay-2ay-1…an。

所以a1a2…ax…ay…an。這和我們的假設的a1a2…ay…ax…an 相矛盾。

所以假設不成立，我們的演算法是正確的。

把陣列排成最小的數

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