天平秤重問題

[問題描述]：

有乙隻天平和n只砝碼，如何設計這n只砝碼，才能使這天平能夠連續秤出的重量最大？假設砝碼的最小單位為1克，秤物時物品放在天平的左邊，砝碼可以放在右邊也可以放在左邊，不管放在哪一邊只要天平能夠平衡就行，物品的重量應是右邊砝碼總重量減去左邊砝碼的重量。

輸入乙個物品的重量，輸出其秤重方案。

[分析與演算法選擇]：

這個問題是從乙個經典的數學問題變化而來，這個數學問題的大意是：乙個物體重40磅，掉在地上後摔成四片，這四片恰好能夠作為砝碼連續秤出40磅以內的物品的重量，這四片的重量如何？

（1）如何設計砝碼？

我們先不去看單位，直接用數字來描述。因為要能連續秤出一範圍內的值，所以首先要有1，從數學上可以知道，n只砝碼本身最大能秤的總重就是這n只砝碼的重量和，下面就看如何保證連續的數都能秤出了。設這n只砝碼的重量分別為w1、w2……wn，且有w1<=w2<=……<=wn， w1=1，下面看w2如何設計。

如果w2=1，1、2都能秤出；如果w2=2，1、2、3都能秤出；如果w2=3，1可以秤出（w1）、2可以秤出（w2-w1）、3可以秤出（w2）、4也可以秤出（w1+w2）；如果w2=4，則2不能秤出；所以w2最大為3（=3*w1）。

同理可推出w3最大為9（=3*w2）；

……wn最大為3n-1（=3*wn-1）。

設計方案為這n只砝碼重分別為：1、3、9、27、……、3n-1。

（2）如何根據物品重量得到秤重方案？

物品（+砝碼）砝碼

因為物品固定放在一連（如左邊），只要考慮砝碼放的情況。任乙個砝碼都可能有三種狀態：一是跟被秤物品放在一起（如左邊），二是不放，三是放在物品另一邊（如右邊）。最後物品的重量等於所有砝碼乘上相應係數的和。這個係數可能是：-1、0、1。

先來看3只砝碼時各種重量的稱法，如下表所示，其中-1表示砝碼放在物品一邊、0表示砝碼不放進天平、1表示砝碼放在物品另一邊，如果每一位加1後便只會是0、1、2這3個數字中的乙個，所以可以方便地跟三進製數對應起來：

物品重量

3只砝碼

每一位加1

三進製數

十進位制數

14(=1+13)

-115(=2+13)

16(=3+13)

17(=4+13)

-1-1

18(=5+13)

-119(=6+13)

-120(=7+13)

-121(=8+13)

22(=9+13)

23(=10+13)

-124(=11+13)

25(=12+13)

26(=13+13)

由上表我們可以總結出這樣的計算方法：對於給定的物品重量，先確定它最多用到多大的砝碼，假定是3n-1，那麼先將這個物品的重量加上1、3、……3n-1，得到乙個數，再對這個數進行除3取餘運算，當餘數為0時表示相應的砝碼跟物品放在一起，餘數為1時表示相應的砝碼不放，為2時表示放在物品的另一邊。