天平稱小球問題

天平稱小球問題有很多經典的正規化解法，在這裡我們談論著只是其中最為廣泛應用的一種——三進製編碼解法。

為什麼想起了使用三進製？其實很好理解。讓我們考慮一下小球的狀態，有：沒放在天平上、在天平左盤、在天平右盤三種。我們不妨用一些數碼來表示這三種狀態:

0——沒放在天平上

1——放在天平左盤

2——放在天平右盤

這樣，我們就可以用乙個數碼串來表示某個小球被稱量的過程，比如某個小球的編碼是210120，就表明這個小球，第一次稱量在右盤，第二次在左盤，第三次不在天平上，第四次在左盤，第五次在右盤，第六次不在天平上。很簡單吧，僅僅用乙個數碼串就把小球複雜的稱量過程表示出來了。

為了方便說明，下面都以「12小球稱3次」來描述這個問題，不過，你很容易就能夠推廣到「m個小球稱n次的情形」。好，閒言少敘，書歸正傳。

假設我們已經把12個小球編上不重複的3進製編碼，稱量的時候我們完全按照編碼操作，第0步，我們把12個小球上的編碼第0位為1的放在天平左邊，編碼第0位為2的放在天平的右邊，編碼第0位為0的則不放在天平上，記下稱量結果；第1步，我們把12個小球上的編碼第1位為1的放在天平左邊，編碼第1位為2的放在天平的右邊，編碼第0位為1的不放在天平上，記下稱量結果；如此下去，編碼有n位，我們就稱量n次，得到n組結果。

考察一下結果的狀態：天平平衡、天平左邊輕於右邊、天平左邊重於右邊。咦？怎麼也是3種。（hia hia，無巧不成書嘛，好戲還在後面）我們用0來表示天平平衡，用1天平左邊輕於右邊，用2天平左邊重於右邊；這樣，稱量了n次，我們就得到了乙個n位的結果編碼，它也是三進製編碼。注意：這個編碼有可能和某個小球的編碼相同呢！：）

你似乎隱隱約約已經意識到了什麼了吧。好，現在就把問題挑明：得到的結果編碼，和非標準小球的編碼一樣，或者有直接的對應關係。（這個關係是什麼？往下看）

如果我們確定了一組小球的稱量方法（對應於12個小球的3進製編碼），現在反過來考慮，原來某一步放天平左盤的小球現在放在天平右盤，原來放天平左盤的小球現在放在天平右盤，原來沒放在天平上的小球應然不放在天平上。那麼這樣得到的小球編碼（也是12個）和原來的重複嗎？顯然不重複，我們把由這種對應關係得到的編碼叫做對偶碼(這裡下個定義：把編碼中的每一位數碼，1換成2，2換成1，0不變，得到新編碼叫做原編碼的對偶碼。如22102的對偶碼是11201，或者說22101和11201互為對偶碼)。這時候，你會考慮這樣乙個問題了——3位的3進製編碼有多少個？答案是有3^3=27個（記做3^n），比上面提到的24個編碼還多3個。為什麼要研究這個對稱碼？因為我們把a,b,c,d球放在左盤，把a』,b』,c』,d『球放到右盤——與我們把a』,b』,c』,d『球放在左盤，把a,b,c,d球放到右盤，其稱量意義是一樣的，得到結果是一樣的，我們要避免這種重複操作。所以說，實現這種演算法，很重要的一點是選碼——在互為一對對偶碼的編碼中選擇乙個來給小球編號。

到這裡，我想你一定猜出來了——27比上面的24個編碼多出的3個是什麼碼？他們是000，111，222。000和自身為對偶碼，111和222互為對偶碼。為什麼要去掉他們3個？我想還是不放在這裡說明了，要解決這個問題你得看看後面的數學證明先！

下面說說程式實現編碼的具體過程。

參考上圖，我們首先取得用乙個code陣列來存放編碼，為了節省空間，在我的程式裡code陣列存放的是十進位制編碼，我用gettheball.num2code()和gettheball.code2num()來實現三進製和十進位制之間的相互轉換。我們首先把編碼全部存入陣列，然後去掉000,111,222這三個編碼，然後再剩餘的編碼中再刪掉一半，得到的12個編碼標記給小球就行了。對於1開頭的編碼我們選擇的是比111大的所有編碼，對於2開頭的編碼，我們劃去「1開頭我們選的那部分編碼」的對偶碼，對於0開頭的編碼，我們選擇的是從左向右的編碼位中，第乙個不為0的數碼是1的編碼（此處酷似好難理解，其實第乙個不為0的數碼不是1就是2，我們刪掉了是2的那一半）。

好了，數數看，看好刪了一半剩了一半。按照上圖的編碼方式，經過操作得到的結果碼，如果在小球編碼中，那個編碼的小球就是非標準球，且比標準球輕。如果結果碼不在小球編碼中，那麼結果碼是非標準球的對偶碼，非標準球比標準球重。

好了，講到這裡就告一段落了。其實，要想領會透徹這個演算法的含義，為什麼要這麼編碼，這麼編碼為什麼正確，還必須經過嚴格的數學證明才行。

相關的數學證明

天平稱小球問題

天平稱球問題

天平稱球問題

巧用進製解決天平稱問題《演算法很美》

天平稱小球問題

天平稱球問題

天平稱球問題

巧用進製解決天平稱問題《演算法很美》

相關推薦