試證明對於對稱陣 a
aa 的二次型 f(x
)=xt
ax
f(x)=\mathrm x^ta\mathrm x
f(x)=x
tax ，當 f(x
)f(x)
f(x)
取得極大值時，x
\mathrm x
x 為對稱陣 a
aa 的最大的特徵值對應的特徵向量。
採用拉格朗日乘子法求解帶約束的二次型問題：
maximizext
ax
subject toxt
x=
1\text\qquad\mathrm x^ta\mathrm x\\ \text \qquad \mathrm x^t\mathrm x=1
maximizext
axsubject toxt
x=1其拉格朗日函式為：
l (x
,λ)=
xtax
−λ(x
tx−1
)l(\mathrm x, \lambda) = \mathrm x^ta\mathrm x -\lambda(\mathrm x^t\mathrm x-1)
l(x,λ)
=xta
x−λ(
xtx−
1)對 l
ll 求偏導，有：
∂ l∂
x=2a
x−2λ
x\frac}=2a\mathrm x-2\lambda \mathrm x
∂x∂l=
2ax−
2λx令 ∂l∂
x=
0\frac}=0
∂x∂l=
0 ，得到 ax=
λx
a\mathrm x=\lambda \mathrm x
ax=λ
x，即 λ
\lambda
λ 是 a
aa 的特徵值，x
\mathrm x
x 為特徵值 λ
\lambda
λ 對應的特徵向量。又由於 xtx
=1
\mathrm x^t\mathrm x=1
xtx=
1，有 l(x
,λ)=
xtax
=xtλ
x=λx
tx=λ
l(\mathrm x, \lambda) = \mathrm x^ta\mathrm x= \mathrm x^t\lambda\mathrm x=\lambda\mathrm x^t\mathrm x=\lambda
l(x,λ)
=xta
x=xt
λx=λ
xtx=
λ。所以， l
ll 要取得最大值，即 λ
\lambda
λ 要取得最大值，此時 λ
\lambda
λ 應為對稱陣 a
aa 的最大的特徵值，而 x
\mathrm x
x 為最大的特徵值對應的特徵向量。
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