bzoj 1283
給出乙個長度為n的正整數序列ci，求乙個子串行，使得原序列中任意長度為m的子串中被選出的元素不超過k 個，並且選出的元素之和最大。
n<=1000，k,m<=100，ci<=20000。
分析把數列串成一串，從 i
ii 連向 i+m
i+mi+
m，費用cic_
ci，流量1
11。s
ss連1
11，流量k
kk即可。也即選擇乙個數之後，其後k
kk個之後便無影響。
loj 6079 山東集訓 養貓
限制改為連續m
mm個不超過k1k1
k1個，不少於k2k2
k2個分析
由於穿過每個截面的流量相同，要求上方有至少k2k2
k2個就是要求下方至多k1−
k2
k1-k2
k1−k
2個，在下方加乙個上界即可
zjoi 2013 防守戰線
每個位置的數可以選若干次，限制形如[l,
r]
[l, r]
[l,r
]中至少選k
kk個，求最小和
分析兩種理解方式：
（1）用差分的方法使得每個變數僅在兩個式子中出現，且係數一正一負。
這是一種經典的做法，從志願者招募一題開始出現。若是使用這種做法，需要係數矩陣每一列不為0的數連續且相等。如此例：
a1a2
a3a4
a5a601
1001
0111
0110
1111
1000
10這樣差分之後便使得每個變數出現兩次，且係數分別為±
1\pm1
±1。但本題中的性質則略有變化。本題為每一行的非零數連續且相同，如此例：
a1a2
a3a4
a5a601
1100
1111
0000
0011
1111
00所以我們需要將其旋轉90∘
90^\circ
90∘，也就是對偶。
對偶之後即可變為之前的圖，差分即可。
（2）用字首和轉化，方法同chefbook。
原線性規劃形如：
設s
is_i
si表示1−i
1-i1−
i選了幾個數
最小化 :
∑ (s
i−si
−1)∗
ci
\sum(s_i-s_)*c_i
∑(si−
si−1
)∗c
i滿足：sr−
sl−1
>=d
ks_r-s_ >= d_k
sr−sl
−1>=d
ks i−
si−1
>=0
s_i-s_i-1 >= 0
si−si
−1>=0
s
i>=0
s_i >= 0
si>=0
注意到每個限制都只有兩個變數，且引數分別為±
1\pm1
±1。如下例：
a1a2
a3a4
a5a60-1
0100
00-11
00-10
0001
-1010
00則將其對偶之後（行列交換），每個變數恰出現兩次，且係數分別為±
1\pm1
±1費用流即可
在3的基礎上，增加一種限制形如[l, r]中至多選k個，求最小/最大和
在4的基礎上，增加一種限制，每個位置有乙個至多選的次數，求最大/最小和
完整描述如下：
有乙個數列，在這個數列中選一些數。位置i
ii的數可以被選擇t
it_i
ti次。現在有若干限制，形如在區間[l,
r]
[l, r]
[l,r
]中至少/至多選出幾個數，求最小/最大和。
乙個數列，限制形如區間[l,
r]
[l, r]
[l,r
]的和至少為$d $，求最少選出幾個數。
//t1, bzoj1283
#include #include #include #include #include #include #define maxn 1050
#define il inline
#define pb push_back
#define ri register int
#define mod
#define inf (1<<28)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
struct node pool[maxn<<4], *h[maxn<<4], *pre[maxn<<4];
int n, m, k, cnt, w[maxn], s, t, maxf, minc, inq[maxn<<4], val[maxn<<4], c[maxn<<4], q[maxn<<5];
il void adde(int u, int v, int c, int w) , h[u] = p;
*q = node , h[v] = q;
}bool spfa() }}
if(val[t] <= -2e9) return 0;
maxf += val[t], minc += val[t]*c[t];
int u = t;
while(u != s)
return 1;
}int main()
//t2 養貓
#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #define inf (1<<29)
#define llinf (1ll<<60)
#define maxn 5050
using namespace std;
/*第一行四個整數 n,k,ms,me
第二行包含 n n n 個整數，代表 si
第三行包含 n 個整數，代表 ei。*/
int n, k, ms, me, cnt, sl[maxn], ea[maxn], ss, s, t, maxn, minn, flow;
int q[maxn<<2], c[maxn<<2], inq[maxn<<2], go[maxn<<2];
long long sum, w[maxn<<2], fee;
struct nodepool[maxn<<4], *h[maxn<<2], *pre[maxn<<2];
inline void addedge(int u, int v, int c, int w, int ty) , h[u] = p1;
*p2 = node, h[v] = p2;
}bool spfa()
} }if(w[t] <= iiss) return 0;
flow += c[t], fee += w[t]*c[t];
int u = t;
while(u != ss)
return 1;
}int main()
for(int i = 1; i <= n; i++)
while(spfa());
printf("%lld\n", sum+fee);
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(go[i]) printf("e");
else printf("s");
return 0;
}
NOIP提高組 選數問題
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