與速度所對偶的物理量是角速度.
設角速度為ω=d
θd
t\displaystyle \omega=\frac \theta} t}
ω=dtdθ
,則角速度的改變量可以由α=d
ωd
t\displaystyle \alpha = \frac \omega} t}
α=dtdω
給出,稱其為角加速度.
可以發現x=θ
r,v=
ωr,a
=α
rx=\theta r,v=\omega r,a= \alpha r
x=θr,v
=ωr,
a=αr
的關係,兩者在不考慮r
rr的情況下就是完全等同的.
所以以下式子自然成立:
\omega&=\omega_0+\alpha t\\ \omega_t-\omega_0&=2\alpha(\theta_t-\theta_0)\\ \displaystyle \theta-\theta_0& \displaystyle =\omega_0 t+\frac\alpha t^2\\ \displaystyle \theta-\theta_0& \displaystyle =\omega_t t-\frac\alpha t^2 \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪
⎧ωω
t−ω
0θ−
θ0θ
−θ0
=ω0
+αt
=2α(
θt−
θ0)
=ω0
t+21
αt2
=ωt
t−21
αt2
設m ⃗=
r⃗×f
⃗\vec=\vec\times \vec
m=r×
f,稱其為力矩.
通過右手定則,我們發現力f
⃗\vec
f對m⃗
\vec
m的疊加只與力的作用方向有關.相同時鐘方向的力矩正向疊加,相反的則相消.那麼很容易由此知道相互作用力的力矩代數和為零.因此剛體內力矩為零,這與質點系的結論類似.
由牛頓第二定律,也能推出力矩和角加速度的關係.取剛體一質量微元d
m\mathrm m
dm,m i=
rifi
t=ri
2dmα
m_i=r_if_=r_i^2 \mathrm m \alpha
mi=ri
fit
=ri
2dm
α.求和得m=α
∫r2d
mm=\alpha \int r^2 \mathrmm
m=α∫r2
dm.命j =∫
r2dm
j=\int r^2 \mathrm m
j=∫r2d
m為轉動慣量,則m=j
αm=j\alpha
m=jα
,可以知道這在角速度系中具有質量的地位.
從而動量也有其對偶量,定義角動量公式為l=j
ωl=j\omega
l=jω
,那麼l=r
⃗×p⃗
l=\vec\times \vec
l=r×p
(注意m=r
⃗×f⃗
m=\vec\times \vec
m=r×
f)也成立.
注意到m=j
dωdt
\displaystyle m=j\frac \omega} t}
m=jdtd
ω,得∫ md
t=jδ
ω\int m \mathrm t=j\delta \omega
∫mdt=j
δω,定義左式為角衝量.事實上j
jj會連續變化,並且∫md
t=δ(
jω
)\int m \mathrm t=\delta (j\omega)
∫mdt=δ
(jω)
也成立,得到乙個物理關係：當轉軸一定時,作用在物體的衝量矩等於角動量的增量.
若外力矩為零,我們知道左側為零,於是δj=
0\delta j=0
δj=0
,從而j
jj始終為一常量.我們稱這種現象為角動量守恆.
另外在功能關係上，也有同樣的對偶性.
\displaystyle w=& \displaystyle \int m(\theta)\mathrm\theta\\ p=& m\theta\\ e_k=&\displaystyle \fracj\omega^2\\ w=&\displaystyle \fracj\omega^2_t-\displaystyle \fracj\omega^2_0\\ \end \right.
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧w=
p=ek
=w=
∫m(
θ)dθ
mθ21
jω2
21j
ωt2
−21
jω02
角速度與旋轉矩陣的轉換關係及思考
在機械人的控制和軌跡規劃等領域，演算法結果常常能夠得到機械人執行器的速度，如移動機械人的角速度和線速度。在有些 情況下，或是其它需要實時更新機械人的運動狀態時，我們常常需要根據這些計算出的速度引數 控制率 對機械人的位姿姿態進行更新。這就涉及到了角速度與旋轉矩陣之間的對應轉換關係。本文將簡要給出一種...
python速度比較 列表與元組的速度比較
ipython 中用 magic 命令 timeit 來計時。比較生成速度 timeit 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 1000000 loops,best of 3 456 ns per loop...
兩物體的相對速度公式 電工常用計算公式與單位
電工常用單位與公式都在這裡，你記得幾個？快來盤點下！電功 表示電流在一段時間內通過某一電路，電場力所做的功。電能轉化成多種其他形式能的過程也可以說是電流做功的過程，有多少電能發生了轉化就說電流做了多少功，即電功是多少。電流做功的多少跟電流的大小 電壓的高低 通電時間長短都有關係。加在用電器上的電壓越...